1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: \({x^2} + 5{y^...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Sử dụng biến đổi thành tổng các bình phương theo hằng đẳng thức.

2) Sử dụng BĐT Cô Si linh hoạt để đưa về thành 1 nhân tử a + b.

Giải chi tiết:

1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: \({x^2} + 5{y^2} + 2xy - 2x + 2y < 0.\)

Ta có: \({x^2} + 5{y^2} + 2xy - 2x + 2y < 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 1 + 2xy - 2x - 2y + 4{y^2} + 4y + 1 < 2\\ \Leftrightarrow {(x + y - 1)^2} + {(2y + 1)^2} < 2\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)

Vì \(x,\;y \in Z,\;\;{\left( {x + y - 1} \right)^2} \ge 0,\;\;{\left( {2y + 1} \right)^2} \le 0\;\forall x,\;y\) nên ta có:

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y - 1} \right)^2} = 1\\{\left( {2y + 1} \right)^2} = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y - 1} \right)^2} = 0\\{\left( {2y + 1} \right)^2} = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\2y + 1 = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\2y + 1 =  - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 1\\2y + 1 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 =  - 1\\2y + 1 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\;\;\left( {tm} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 1\end{array} \right.\;\left( {tm} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\left( {ktm} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\y =  - \frac{1}{2}\end{array} \right.\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\;\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Vậy các giá trị nguyên thỏa mãn là: \(\left( {x;\;y} \right) = \left\{ {\left( {1;\;0} \right),\;\left( {2; - 1} \right)} \right\}.\)

2) Cho 2 số thực a, b thỏa mãn: \({a^2} + {b^2} + 36 = 9(a + b).\) Tìm giá trị lớn nhất và  giá trị nhỏ nhất của  biểu thức \(M = {a^2} + {b^2}.\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\({a^2} + {b^2} \ge \frac{{{{(a + b)}^2}}}{2} \Rightarrow {a^2} + {b^2} + 36 = 9(a + b) \le 9\sqrt {2({a^2} + {b^2})} \)

Đặt \(t = \sqrt {2({a^2} + {b^2})} \) ta có :

\(\begin{array}{l}\frac{{{t^2}}}{2} + 36 \le 9t \Leftrightarrow {t^2} - 18t + 72 \le 0 \Leftrightarrow (t - 12)(t - 6) \le 0\\ \Leftrightarrow 6 \le t \le 12 \Leftrightarrow 18 \le {a^2} + {b^2} \le 72.\end{array}\)

Vậy GTNN của M là 18, dấu   xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 18\\a + b = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = a - 6\\{a^2} + {\left( {a - 6} \right)^2} = 18\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = a - 6\\2{a^2} - 12a + 18 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6 - a\\a = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 3\end{array} \right..\)

GTLN của M là 72, dấu   xảy ra  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} = 72\\a + b = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 12 - a\\{a^2} + {\left( {12 - a} \right)^2} = 72\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 12 - a\\2{a^2} - 24a + 72 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 6\end{array} \right..\)

Chọn A.