Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ đư...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1)      Chứng minh tứ giác CDNM là tứ giác nội tiếp.

2)      Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác và áp dụng BĐT Cauchy.

Giải chi tiết:

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ đường kính AB, một dây CD cắt đoạn thẳng AB tại E, tiếp tuyến của (O) tại B cắt các tia AC, AD lần lượt tại M, N.

1)      Chứng minh rằng $\angle ACD = \angle ANM$

Ta có $\angle ACB = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow BC \bot AC \Rightarrow BC \bot AM$.

$\Rightarrow \angle CMN + \angle MBC = {90^0}$ (tam giác BCM vuông tại C)

Mà $\angle ABC + \angle MBC = \angle ABM = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)$

$\Rightarrow \angle ABC = \angle CMN$. (cùng phụ với $\angle CBM$)

Mà $\angle ADC = \angle ABC$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

$\Rightarrow \angle ADC = \angle CMN$.

Lại có $\angle ADC + \angle CDN = {180^0}$ (kề bù) $\Rightarrow \angle CMN + \angle CDN = {180^0}$.

$\Rightarrow$ Tứ giác CDNM là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

$\Rightarrow \angle ACD = \angle ANM$ (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

2)      Chứng minh rằng $AC + AD + AM + AN > 8R$

Ta có $\angle ACB = \angle ADB = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABM ta có: $A{B^2} = AC.AM \Rightarrow AM = \frac{{A{B^2}}}{{AC}} = \frac{{4{R^2}}}{{AC}}$

 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABN ta có: $A{B^2} = AD.AN \Rightarrow AN = \frac{{A{B^2}}}{{AD}} = \frac{{4{R^2}}}{{AD}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow AC + AD + AM + AN = AC + AD + \frac{{4{R^2}}}{{AC}} + \frac{{4{R^2}}}{{AD}}\\ = \left( {AC + \frac{{4{R^2}}}{{AC}}} \right) + \left( {AD + \frac{{4{R^2}}}{{AD}}} \right)\mathop  \ge \limits^{Cauchy} 2\sqrt {AC.\frac{{4{R^2}}}{{AC}}}  + 2\sqrt {AD.\frac{{4{R^2}}}{{AD}}}  = 2.2R + 2.2R = 8R\end{array}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \frac{{4{R^2}}}{{AC}}\\AD = \frac{{4{R^2}}}{{AD}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = 2R\\AD = 2R\end{array} \right.$ , khi đó $C \equiv D \equiv M \equiv N \equiv B$