Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đư...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1)      Chứng minh tứ giác CDNM là tứ giác nội tiếp.

2)      Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác và áp dụng BĐT Cauchy.

Giải chi tiết:

Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính AB, một dây CD cắt đoạn thẳng AB tại E, tiếp tuyến của (O) tại B cắt các tia AC, AD lần lượt tại M, N.

1)      Chứng minh rằng \(\angle ACD = \angle ANM\)

Ta có \(\angle ACB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow BC \bot AC \Rightarrow BC \bot AM\).

\( \Rightarrow \angle CMN + \angle MBC = {90^0}\) (tam giác BCM vuông tại C)

Mà \(\angle ABC + \angle MBC = \angle ABM = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \angle ABC = \angle CMN\). (cùng phụ với \(\angle CBM\))

Mà \(\angle ADC = \angle ABC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC).

\( \Rightarrow \angle ADC = \angle CMN\).

Lại có \(\angle ADC + \angle CDN = {180^0}\) (kề bù) \( \Rightarrow \angle CMN + \angle CDN = {180^0}\).

\( \Rightarrow \) Tứ giác CDNM là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

\( \Rightarrow \angle ACD = \angle ANM\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

2)      Chứng minh rằng \(AC + AD + AM + AN > 8R\)

Ta có \(\angle ACB = \angle ADB = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABM ta có: \(A{B^2} = AC.AM \Rightarrow AM = \frac{{A{B^2}}}{{AC}} = \frac{{4{R^2}}}{{AC}}\)

 Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABN ta có: \(A{B^2} = AD.AN \Rightarrow AN = \frac{{A{B^2}}}{{AD}} = \frac{{4{R^2}}}{{AD}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AC + AD + AM + AN = AC + AD + \frac{{4{R^2}}}{{AC}} + \frac{{4{R^2}}}{{AD}}\\ = \left( {AC + \frac{{4{R^2}}}{{AC}}} \right) + \left( {AD + \frac{{4{R^2}}}{{AD}}} \right)\mathop  \ge \limits^{Cauchy} 2\sqrt {AC.\frac{{4{R^2}}}{{AC}}}  + 2\sqrt {AD.\frac{{4{R^2}}}{{AD}}}  = 2.2R + 2.2R = 8R\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \frac{{4{R^2}}}{{AC}}\\AD = \frac{{4{R^2}}}{{AD}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = 2R\\AD = 2R\end{array} \right.\) , khi đó \(C \equiv D \equiv M \equiv N \equiv B\)