a)      Cho đa thức \(f\left( x \right) = {x^2} +...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)      +) Từ \(f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow \) Mối quan hệ giữa a và b, rút a theo b và thế vào phương trình \(f\left( x \right) = x\)

+) Đưa phương trình \(f\left( x \right) = x\) về dạng tích, giải phương trình.

+) Từ giả thiết \(f\left( 3 \right) > 0\), chứng minh phương trình \(f\left( x \right) = x\) có hai nghiệm phân biệt.

+) Đưa phương trình \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = x\) về dạng tích.

Giải chi tiết:

a)      Cho đa thức \(f\left( x \right) = {x^2} + ax + b\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1\) và \(f\left( 0 \right) > 3\). Chứng minh rằng phương trình \(f\left( x \right) = x\) có 2 nghiệm phân biệt. Tìm số nghiệm của \(f\left( {f\left( x \right)} \right) = x\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow 1 + a + b = 1 \Leftrightarrow a =  - b.\\f\left( x \right) = x \Leftrightarrow {x^2} + ax + b = x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {x^2} - bx + b - x = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) - b\left( {x - 1} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - b} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = b\end{array} \right.\\f\left( 0 \right) > 3 \Leftrightarrow b > 3 \Rightarrow b \ne 1\end{array}\)

Do vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Mặt khác:

\(\begin{array}{l}f\left( {f\left( x \right)} \right) = x \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) + af\left( x \right) + b = x\\ \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) - bf\left( x \right) + b - x = 0\\ \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) - {x^2} - bf\left( x \right) + bx + {x^2} - bx + b - x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {f\left( x \right) - x} \right)\left( {f\left( x \right) + x} \right) - b\left( {f\left( x \right) - x} \right) + f\left( x \right) - x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {f\left( x \right) - x} \right)\left( {f\left( x \right) + x - b + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = x\\f\left( x \right) + x - b + 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = x\\{x^2} - bx + b + x - b + 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - \left( {b - 1} \right)x + 1 = 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \(x = 1;\,\,x = b\) (cmt).

Xét phương trình (2):

\(\Delta  = {\left( {b - 1} \right)^2} - 4 = {b^2} - 2b - 3 = \left( {b + 1} \right)\left( {b - 3} \right) > 0\,\,\,\left( {Do\,\,b > 3} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt.

Ta có \(1 - \left( {b - 1} \right).1 + 1 = 3 - b < 0 \Rightarrow x = 1\) không là nghiệm của phương trình (2).

\({b^2} - \left( {b - 1} \right).b + 1 = b + 1 > 4 \ne 0 \Rightarrow x = b\)  không là nghiệm của phương trình (2).

Vậy phương trình cần tìm có 4 nghiệm phân biệt.

b)     Cho \(A = {m^2}{n^2} - 4m - 2n\) với m, n là các số nguyên dương. Khi \(n = 2\) tìm m để A là số chính phương. Khi \(n \ge 5\) chứng minh rằng A không thể là số chính phương.

Khi \(n = 2\) ta có:

\(\begin{array}{l}A = 4{m^2} - 4m - 4 = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 5 = 4{k^2}\\ \Leftrightarrow \left( {2m - 2k - 1} \right)\left( {2m + 2k - 1} \right) = 5\end{array}\)

TH1 : \(\left\{ \begin{array}{l}2m - 2k - 1 = 1\\2m + 2k - 1 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\k = 1\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\)

TH2 : \(\left\{ \begin{array}{l}2m - 2k - 1 =  - 1\\2m + 2k - 1 =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 1\\k =  - 1\end{array} \right.\,\,\,\left( {ktm} \right)\)

TH3 : \(\left\{ \begin{array}{l}2m - 2k - 1 = 5\\2m + 2k - 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\k =  - 1\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\)

TH4 : \(\left\{ \begin{array}{l}2m - 2k - 1 =  - 5\\2m + 2k - 1 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 1\\k = 1\end{array} \right.\,\,\,\left( {ktm} \right)\)

Vậy \(m = 2\).

Với \(n \ge 5,m = 1 \Rightarrow A = {n^2} - 2n - 4 = {\left( {n - 1} \right)^2} - 5 < {\left( {n - 1} \right)^2}\)

\(A = {n^2} - 2n - 4 = {\left( {n - 2} \right)^2} + 2n - 8 > {\left( {n - 2} \right)^2}\,\,\left( {Do\,\,n \ge 5} \right)\)

\( \Rightarrow {\left( {n - 2} \right)^2} < A < {\left( {n - 1} \right)^2}\). Do đó A không thể là số chính phương.

Khi \(m \ge 2\) ta có:

\(\begin{array}{l}A = {m^2}{n^2} - 4m - 2n\\A = {\left( {mn - 1} \right)^2} + 2mn - 4m - 2n - 1\\A = {\left( {mn - 1} \right)^2} + 2\left( {n - 2} \right)\left( {m - 1} \right) - 5\\ \Rightarrow A \ge {\left( {mn - 1} \right)^2} + 2\left( {n - 2} \right) - 5\,\,\left( {Do\,\,m \ge 2 \Rightarrow m - 1 \ge 1} \right)\\ \Rightarrow A > {\left( {mn - 1} \right)^2}\,\,\left( {Do\,\,n \ge 5 \Rightarrow 2\left( {n - 2} \right) - 5 \ge 1} \right)\end{array}\)

Lại có \(A = {m^2}{n^2} - 4m - 2n < {\left( {mn} \right)^2}\)

\( \Rightarrow {\left( {mn - 1} \right)^2} < A < {\left( {mn} \right)^2}\). Do vậy A không thể là số chính phương.