Cho phương trình \({x^2} - 2x + m + 3 = 0\;\;\;\le...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0.\)

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\) và biển đổi, tính hệ thức bài cho để tìm giá trị của \(m.\)

Giải chi tiết:

Cho phương trình \({x^2} - 2x + m + 3 = 0\;\;\;\left( 1 \right)\) (với \(x\) là ẩn, \(m\) là tham số).

a) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm.

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 1 - m - 3 \ge 0 \Leftrightarrow m \le  - 2.\)

Vậy \(m \le  - 2\) thì phương trình đã cho có nghiệm.

b) Gọi \({x_1},\;{x_2}\) là nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right).\) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(x_1^2 + x_2^2 - 3{x_1}{x_2} - 4 = 0.\)

Với \(m \le  - 2\) thì phương trình có hai nghiệm \({x_1},\;{x_2}.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m + 3\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(x_1^2 + x_2^2 - 3{x_1}{x_2} - 4 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - 3{x_1}{x_2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 5{x_1}{x_2} - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 4 - 5\left( {m + 3} \right) - 4 = 0 \Leftrightarrow 4 - 5m - 15 - 4 = 0 \Leftrightarrow 5m =  - 15 \Leftrightarrow m =  - 3\;\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy \(m =  - 3\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Chọn D.