1) Quãng đường Hải Dương – Hạ Lo...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Giải bài toàn bằng cách lập phương trình:

+) Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

+) Biểu diễn các đại lượng chữa biết theo ẩn và đại lượng đã biết.

+) Dựa vào giả thiết của bài toán để lập phương trình.

+) Giải phương trình tìm ẩn và đối chiếu với điều kiện của ẩn rồi kết luận.

2) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta '>0.\)

+) Áp dụng hệ thức Vi-ét \(\left\{ \begin{align}  {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\  {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right.\) và hệ thức bài cho để tìm giá trị của \(m.\)

Giải chi tiết:

1) Quãng đường Hải Dương – Hạ Long dài 100km. Một ô tô đi từ Hải Dương đến Hạ Long rồi nghỉ ở đó 8 giờ 20 phút, sau đó trở về Hải Dương hết tất cả 12 giờ. Tính vận tốc của ô tô lúc đi, biết vận tốc ô tô lúc về nhanh hơn vận  tốc ô tô lúc đi 10 km/h.

Gọi vận tốc của ô tô lúc đi là \(x\ \left( km/h \right),\ \ \left( x>0 \right).\)

Khi đó vận tốc lúc về của ô tô là: \(x+10\ \ \left( km/h \right).\)

Thời gian ô tô đi từ Hải Dương đến Hạ Long là: \(\frac{100}{x}\ \ \left( h \right).\)

Thời gian ô tô đi từ Hạ Long về Hải Dương là: \(\frac{100}{x+10}\ \ \left( h \right).\)

Đổi \(8\) giờ \(20\) phút \(=\frac{25}{3}\) giờ.

Theo đề bài ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\frac{{100}}{x} + \frac{{25}}{3} + \frac{{100}}{{x + 10}} = 12\\ \Leftrightarrow \frac{{100}}{x} + \frac{{100}}{{x + 10}} - \frac{{11}}{3} = 0\\ \Leftrightarrow 300\left( {x + 10} \right) + 300x - 11x\left( {x + 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 600x + 3000 - 11{x^2} - 110x = 0\\ \Leftrightarrow 11{x^2} - 490x - 3000 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 50} \right)\left( {11x + 60} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 50 = 0\\11x + 60 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 50\left( {tm} \right)\\x =  - \frac{{60}}{{11}}\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy vận tốc của ô tô lúc đi là \(50\;km/h.\)

2) Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - 2mx + {m^2} - 2 = 0\) (x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {x_1^3 - x_2^3} \right| = 10\sqrt 2 .\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - {m^2} + 2 > 0\; \Leftrightarrow 2 > 0\;\forall m\)

\( \Rightarrow \) Phương trình luôn có hai nghiệm \({{x}_{1}},\ \ {{x}_{2}}\) với mọi \(m.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 2\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(\left| {x_1^3 - x_2^3} \right| = 10\sqrt 2 \)

\(\begin{align}  \Leftrightarrow \left| \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( x_{1}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2} \right) \right|=10\sqrt{2} \\  \Leftrightarrow \left| \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right] \right|=10\sqrt{2} \\  \Leftrightarrow {{\left| \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right] \right|}^{2}}=200 \\  \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}{{\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]}^{2}}=200 \\  \Leftrightarrow \left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]{{\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]}^{2}}=200 \\  \Leftrightarrow \left[ 4{{m}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-2 \right) \right]{{\left[ 4{{m}^{2}}-{{m}^{2}}+2 \right]}^{2}}=200 \\  \Leftrightarrow 8{{\left( 3{{m}^{2}}+2 \right)}^{2}}=200 \\  \Leftrightarrow {{\left( 3{{m}^{2}}+2 \right)}^{2}}=25 \\  \Leftrightarrow 3{{m}^{2}}+2=5\ \ \ \left( do\ \ 3{{m}^{2}}+2>0\ \ \forall m \right) \\  \Leftrightarrow {{m}^{2}}=1 \\  \Leftrightarrow m=\pm 1. \\ \end{align}\)

Vậy \(m=\pm 1\) thỏa mãn bài toán.