a)      Tìm các số nguyên dương \(x;\,\,y;\,\,z\)...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)      Tìm các số nguyên dương x, y, z sao cho \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 6 < xy + 3x + 4z\)

Do x, y, z là các số nguyên nên

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 6 + 1 \le xy + 3y + 4z\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 7 - xy - 3y - 4z \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}y} \right)^2} + 3{\left( {\frac{y}{2} - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} \le 0\\ \Leftrightarrow  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - \frac{1}{2}y = 0\\\frac{y}{2} - 1 = 0\\z - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(x = 1;\,\,y = z = 2\) là 3 số nguyên cần tìm.

b)     Cho 2 số nguyên dương m, n thỏa mãn \(m + n + 1\) là ước nguyên tố của \(2\left( {{m^2} + {n^2}} \right) - 1\). CMR: \(m.n\) là số chính phương.

Giả sử \(m \ne n\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {m + n} \right)^2} - 1 = \left( {m + n + 1} \right)\left( {m + n - 1} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {m + n + 1} \right)\\ \Rightarrow 2\left( {{m^2} + {n^2}} \right) - 1 - \left[ {{{\left( {m + n} \right)}^2} - 1} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {m + n + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2{m^2} + 2{n^2} - {m^2} - 2mn - {n^2}} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {m + n + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {m - n} \right)^2}\,\, \vdots \,\,\left( {m + n + 1} \right)\end{array}\)

Do \(m + n + 1\) là số nguyên tố \( \Rightarrow m + n + 1\) là ước của \(m - n\).

Mà \(m - n < m - n + 1\) do đó vô lý.

Vậy giả sử sai \( \Rightarrow m = n \Rightarrow m.n = {m^2}\) là số chính phương.

Ta có điều phải chứng minh.