Cho biểu thức: \(P = \left( {\frac{a}{{\sqrt a  +...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi thông qua phân tích tử, mẫu thành nhân tử và rút gọn biểu thức.

Giải chi tiết:

Cho biểu thức: \(P = \left( {\frac{a}{{\sqrt a  + 2}} + \frac{{a + \sqrt a }}{{a + 3\sqrt a  + 2}}} \right).\frac{{4 - a}}{{\sqrt a }}\).

a) Rút gọn biểu thức P: 

Điều kiện: \(a > 0.\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{a}{{\sqrt a  + 2}} + \frac{{a + \sqrt a }}{{a + 3\sqrt a  + 2}}} \right).\frac{{4 - a}}{{\sqrt a }}\\ = \left[ {\frac{a}{{\sqrt a  + 2}} + \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  + 2} \right)}}} \right].\frac{{4 - a}}{{\sqrt a }}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {\frac{a}{{\sqrt a  + 2}} + \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a  + 2}}} \right).\frac{{4 - a}}{{\sqrt a }}\\ = \frac{{\sqrt a  + a}}{{\sqrt a  + 2}}.\frac{{\left( {2 - \sqrt a } \right)\left( {2 + \sqrt a } \right)}}{{\sqrt a }} = \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {2 - \sqrt a } \right)}}{{\sqrt a }}\\ = \left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {2 - \sqrt a } \right) =  - a + \sqrt a  + 2.\end{array}\)

b) Tìm các số thực dương \(a\) sao cho \(P\) đạt giác trị lớn nhất.

Điều kiện: \(a > 0.\) Ta có:

\(P =  - a + \sqrt a  + 2 =  - {\left( {\sqrt a  - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{9}{4} \le \frac{9}{4}.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt a  - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt a  = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}\,\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy \(Max\,\,P = \frac{9}{4}\) khi \(a = \frac{1}{4}.\) 

Chọn D.