1) Cho các số \(a;b;c\)thỏa mãn điều kiện \(a+2b+5...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Rút b theo a và c. Tính biệt thức \(\Delta \)và chứng minh \(\Delta \ge 0\,\,\forall a;b;c\)

2) Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết:

1) Cho các số \(a;b;c\) thỏa mãn điều kiện \(a + 2b + 5c = 0\). Chứng minh phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm.

\(\begin{array}{l}a + 2b + 5c = 0 \Leftrightarrow b = \frac{{ - a - 5c}}{2}\\\Delta  = {b^2} - 4ac = \frac{{{a^2} + 10ac + 25{c^2}}}{4} - 4ac = \frac{{{a^2} - 6ac + 25{c^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - 3c} \right)}^2} + 16{c^2}}}{4} \ge 0\,\,\forall a;b;c.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) luôn có nghiệm.

2) Giải phương trình \({\left( {4{x^3} - x + 3} \right)^3} = {x^3} + \frac{3}{2}\)

Đặt \(4{x^3} - x + 3 = t\)

Khi đó ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{t^3} = {x^3} + \frac{3}{2}\\4{x^3} - x + 3 = t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^3} = 2{t^3} - 3\,\,\,\left( 1 \right)\\4{x^3} - x + 3 = t\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Thế (1) vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2{x^3} + 2{t^3} - 3 - x + 3 = t\\ \Leftrightarrow 2{x^3} + 2{t^2} - x - t = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {x + t} \right)\left( {{x^2} - xt + {t^2}} \right) - \left( {x + t} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + t} \right)\left( {2{x^2} - 2xt + 2{t^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + t = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\\2{x^2} - 2xt + 2{t^2} - 1 = 0\,\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(\left( * \right) \Leftrightarrow t =  - x \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow  - {x^3} = {x^3} + \frac{3}{2} \Leftrightarrow  - 2{x^3} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow x =  - \sqrt[3]{{\frac{3}{4}}} =  - \frac{{\sqrt[3]{6}}}{2}.\)

+) Với \(\left( {**} \right) \Leftrightarrow 2{x^2} - 2xt + 2{t^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow 4{x^2} - 4xt + {t^2} + 3{t^2} = 2 \Leftrightarrow {\left( {2x - t} \right)^2} + 3{t^2} = 2\,\,\,\,\left( {***} \right)\)

Ta có: \({\left( {2x - t} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x,\,t \Rightarrow \left( {***} \right) \Rightarrow 3{t^2} \le 2 \Leftrightarrow {t^2} \le \frac{2}{3} \Leftrightarrow  - \sqrt {\frac{2}{3}}  \le t \le \sqrt {\frac{2}{3}} .\)

Tương tự ta có: \( - \sqrt {\frac{2}{3}}  \le x \le \sqrt {\frac{2}{3}} .\)

Khi đó kết hợp với phương trình \({t^3} = {x^3} + \frac{3}{2}\) ta có:  \(\frac{3}{2} = {t^3} - {x^3} \le \left| {{t^3}} \right| + \left| {{x^3}} \right| \le 2{\left( {\sqrt {\frac{2}{3}} } \right)^3}\)

\( \Rightarrow \frac{9}{4} \le 4.\frac{8}{{27}} \Leftrightarrow 243 \le 128\) (vô lý)

\( \Rightarrow \left( {***} \right)\) là phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: \(x =  - \frac{{\sqrt[3]{6}}}{2}.\)

Chọn B.