Cho phương trình \({{x}^{3}}-x-1=0\). Giả sử x

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1. Hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( a;b \right)\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right)<0\) thì phương trình \(f\left( x \right)=0\) có ít nhất 1 nghiệm \({{x}_{0}}\in \left( a;b \right)\)

2. \(x_{0}^{3}-{{x}_{0}}-1=0\Leftrightarrow x_{0}^{3}={{x}_{0}}+1\), sử dụng các hằng đẳng thức \({{X}^{2}}-1=\left( X+1 \right)\left( X-1 \right)\) và \(\left| X \right|=\sqrt{{{X}^{2}}}\)

Giải chi tiết:

1. Xét hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-x-1\) liên tục trên R ta có \(\left\{ \begin{align}  & f\left( 1 \right)={{1}^{3}}-1-1=-1<0 \\  & f\left( 2 \right)={{2}^{3}}-2-1=5>0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow f\left( 1 \right).f\left( 2 \right)<0\Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right)=0\) có 1 ít nhất 1 nghiệm \({{x}_{0}}\in \left( 1;2 \right)\Rightarrow {{x}_{0}}>0\).

Cách 2:

\({{x}_{0}}\) là nghiệm của phương trình \({{x}^{3}}-x-1=0\Rightarrow x_{0}^{3}-{{x}_{0}}=1\Leftrightarrow {{x}_{0}}\left( x_{0}^{2}-1 \right)=1\) hay \(x_{0}^{3}={{x}_{0}}+1.\)

+) Khi \({{x}_{0}}=0\Leftrightarrow 0=1\) (vô lý).

+) Khi \({{x}_{0}}<0\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & x_{0}^{2}<1\Leftrightarrow -1<{{x}_{0}}<1 \\  & {{x}_{0}}+1<0\Leftrightarrow {{x}_{0}}<-1 \\ \end{align} \right.\)  (vô lý).

\(\Rightarrow {{x}_{0}}>0\ \ \left( dpcm \right).\)

2. Do \({{x}_{0}}\) là nghiệm của phương trình  \({{x}^{3}}-x-1=0\) nên \(x_{0}^{3}-{{x}_{0}}-1=0\Leftrightarrow x_{0}^{3}={{x}_{0}}+1\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow M=\frac{x_{0}^{2}-1}{{{x}_{0}}+1}\sqrt{2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+2}=\left( {{x}_{0}}-1 \right)\sqrt{2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+2} \\  & Do\,\,{{x}_{0}}\in \left( 1;2 \right)\Rightarrow {{x}_{0}}-1>0 \\  & \Rightarrow M=\sqrt{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}\left( 2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+2 \right)}\, \\  & \Rightarrow M=\sqrt{\left( x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}+1 \right)\left( 2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+2 \right)} \\  & \Rightarrow M=\sqrt{2x_{0}^{4}+3x_{0}^{3}+2x_{0}^{2}-4x_{0}^{3}-6x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}+2x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}+2} \\  & \Rightarrow M=\sqrt{2x_{0}^{4}-x_{0}^{3}-2x_{0}^{2}-{{x}_{0}}+2} \\  & \Rightarrow M=\sqrt{2x_{0}^{4}-2x_{0}^{2}-2{{x}_{0}}-x_{0}^{3}+{{x}_{0}}+1+1} \\  & \Rightarrow M=\sqrt{2{{x}_{0}}\left( x_{0}^{3}{{x}_{0}}-1 \right)-\left( x_{0}^{3}-{{x}_{0}}-1 \right)+1} \\  & \Rightarrow M=\sqrt{2{{x}_{0}}.0-0+1}=1 \\ \end{align}\)

Chọn D