Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện \...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt \(t = x + y\), sử dụng BĐT \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\) tìm khoảng giá trị của t, sau đó đưa biểu thức P về dạng \(y = f\left( t \right)\).

+) Sử dụng phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn.

Giải chi tiết:

\(P = 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) - 3xy = 2\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) - 3xy = 2\left( {x + y} \right)\left( {2 - xy} \right) - 3xy\)

Đặt \(t = x + y \Rightarrow {t^2} = {x^2} + {y^2} + 2xy = 2 + 2xy \Leftrightarrow xy = \dfrac{{{t^2} - 2}}{2}\).

Vì \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {t^2} \ge 2\left( {{t^2} - 2} \right) \Leftrightarrow {t^2} - 4 \le 0 \Leftrightarrow  - 2 \le t \le 2\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}P = 2t\left( {2 - \dfrac{{{t^2} - 2}}{2}} \right) - 3\dfrac{{{t^2} - 2}}{2}\,\,\,\left( {t \in \left[ { - 2;2} \right]} \right)\\P = 4t - 4{t^3} - \dfrac{3}{2}{t^2} + 3\\P =  - {t^3} - \dfrac{3}{2}{t^2} + 6t + 3 = f\left( t \right)\,\,\left( {t \in \left[ { - 2;2} \right]} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) =  - {t^3} - \dfrac{3}{2}{t^2} + 6t + 3\) trên \(\left[ { - 2;2} \right]\) ta có \(f'\left( t \right) =  - 3{t^2} - 3t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 \in \left[ { - 2;2} \right]\\t =  - 2 \in \left[ { - 2;2} \right]\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( t \right) = \dfrac{{13}}{2} = \max P;\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( t \right) =  - 7 = \min P \Rightarrow M + m = \dfrac{{13}}{2} - 7 =  - \dfrac{1}{2}\).

Chọn B.