Trong khái triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton: \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n}{b^0} + C_n^1{a^{n - 1}}{b^1} + ... + C_n^n{a^0}{b^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n - k}}{b^k}\)

Số hạng thứ \(k + 1\)  của khai triển  là \({T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}.\)

\({a^{\frac{m}{n}}}\) nguyên khi \(m\; \vdots \;n\;\;\left( {a \in Z} \right).\)

Giải chi tiết:

Ta có \({\left( {\sqrt 3  + \sqrt[4]{5}} \right)^{124}} = {\sum\limits_{}^{} {C_{124}^k\left( {\sqrt 3 } \right)} ^{124 - k}}{\left( {\sqrt[4]{5}} \right)^k}\)

Xét số hạng thứ \(\left( {k + 1} \right)\)  của khai triển là: \({T_{k + 1}} = C_{124}^k{\left( {\sqrt 3 } \right)^{124 - k}}{\left( {\sqrt[4]{5}} \right)^k} = C_{124}^k{3^{\frac{{124 - k}}{2}}}{.5^{\frac{k}{4}}},\;\;k \le 124\)

\({T_{k + 1}}\) là số hữu tỉ \( \Leftrightarrow \frac{{124 - k}}{2}\) và \(\frac{k}{4}\) là các số tự nhiên nghĩa là \(124 - k\)  chia hết cho 4

\( \Rightarrow k = 4t\) với  \(0 \le k \le 124 \Rightarrow 0 \le 4t \le 124 \Leftrightarrow 0 \le t \le 31,\;t \in \mathbb{N}\)

Vậy có 32 giá trị của t tức là có 32 giá trị k thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tóm lại trong khai triển \({\left( {\sqrt 3  + \sqrt[4]{5}} \right)^{124}}\) có 32 số hạng hữu tỉ.

Chọn A