Với \(n \in {N^*}\). Tính \({S_n} = {1^3} + {2^3}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dự đoán công thức tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Giải chi tiết:

Ta thấy: \({S_1} = 1 = \frac{{{1^2}{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}}{4}\,;\,\,\,\,{S_2} = 9 = \frac{{{2^2}{{\left( {2 + 1} \right)}^2}}}{4};\,\,\,{S_3} = 36 = \frac{{{3^2}{{\left( {3 + 1} \right)}^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow \) Dự đoán: \({S_n} = \frac{{{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\,\,\,\left( 1 \right)\)

*) Chứng minh (1) bằng quy nạp:

+ Bước 1: Với \(n = 1 \Rightarrow {S_1} = \frac{{{1^2}{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}}{4} = 1\) (luôn đúng)

+ Bước 2: Giả sử (1) đúng với 1 số tự nhiên bất kỳ \(n = k\,\,\left( {k \ge 1} \right)\) ta có:

\({S_k} = {1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {k^3} = \frac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4}\) (giả thiết quy nạp)

+ Bước 3: Ta phải chứng minh công thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh:

\({S_{k + 1}} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}}}{4}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Ta có: \({S_{k + 1}} = {S_k} + {\left( {k + 1} \right)^3} = \frac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{4} + {\left( {k + 1} \right)^3}\)

\( = \frac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2} + 4{{\left( {k + 1} \right)}^3}}}{4} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {{k^2} + 4k + 4} \right)}}{4} = \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}{{\left( {k + 2} \right)}^2}}}{4}\)

\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) luôn đúng \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) được chứng minh.

Chọn C.