Tìm $m$ để các hàm số\(f(x) = \left\{ \begin{arr...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại $x = 2.$ 

Hàm số $y = f\left( x \right)$  liên tục tại điểm $x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).$  

Giải chi tiết:

Hàm số đã cho luôn xác định và liên tục trên  khoảng $\left( {2; + \infty } \right).$

Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số phải liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và liên tục tại $x = 2$.

Hàm số liên tục trên $\left( { - \infty ;2} \right) \Leftrightarrow g(x) = {x^2} - 2mx + 3m + 2 \ne 0,{\rm{ }}\forall x < 2$

TH1: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - 3m - 2 \le 0\\g(2) =  - m + 6 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \le m \le \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\\m \ne 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \le m \le \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}.$

TH2: $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\\m < \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.$

Giả sử đa thức $g\left( x \right)$ có hai nghiệm ${x_1} < {x_2}.$ Khi đó ta có:

$\Rightarrow g\left( 2 \right) > 0 \Leftrightarrow 4 - 4m + 3m + 2 > 0 \Leftrightarrow m < 6.$

$\Rightarrow \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2} < m < 6$

$\Rightarrow \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \le m < 6$ (*)  thì  $g(x) \ne 0,{\rm{ }}\forall x < 2$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\sqrt {2x - 4}  + 3} \right) = 3\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 3m + 2}} = \frac{3}{{6 - m}}\end{array}$

Hàm số liên tục tại $x = 2 \Leftrightarrow \frac{3}{{6 - m}} = 3 \Leftrightarrow m = 5$ (thỏa (*))

Vậy $m = 5$ là  giá trị cần tìm.

Chọn D.