Cho phương trình \({\left( {x + 2} \right)^4} + {\...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải phương trình có dạng \({\left( {x + a} \right)^4} + {\left( {x + b} \right)^4} = m\): Đặt \(t = x + \dfrac{{a + b}}{2}\) quy về  phương trình bậc 2.

Giải chi tiết:

a) Khi \(m = 272\) ta có \({\left( {x + 2} \right)^4} + {\left( {x + 4} \right)^4} = 272\)

Đặt \(t = x + 3\), khi đó phương trình trở thành:

\({\left( {t - 1} \right)^4} + {\left( {t + 1} \right)^4} = 272 \Leftrightarrow 2{t^4} + 12{t^2} + 2 = 272 \Leftrightarrow {t^4} + 6{t^2} - 135 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

Đặt \({t^2} = a \ge 0\)

\((1) \Leftrightarrow {a^2} + 6a - 135 = 0 \Leftrightarrow \left( {a - 9} \right)\left( {a + 15} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 9\\a =  - 15\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow t =  \pm 3\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 3\\x + 3 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 6\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {0; - 6} \right\}\).

b) \({\left( {x + 2} \right)^4} + {\left( {x + 4} \right)^4} = m\)  (*)

Đặt \(t = x + 3\), khi đó phương trình trở thành:

\({\left( {t - 1} \right)^4} + {\left( {t + 1} \right)^4} = m \Leftrightarrow 2{t^4} + 12{t^2} + 2 = m \Leftrightarrow 2{t^4} + 12{t^2} + 2 - m = 0\,\,\,\left( {**} \right)\)

Đặt \({t^2} = a \ge 0\) ta có: \((1) \Leftrightarrow 2{a^2} + 12a + 2 - m = 0\,\,\,\left( {***} \right)\)

Ta có phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (***) xảy ra 2 trường hợp:

TH1: Phương trình (***) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm âm 1 nghiệm dương.

TH2: Phương trình (***)  có nghiệm kép dương.

+ TH1: Phương trình (***)  có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm âm 1 nghiệm dương.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\P < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}36 - 2\left( {2 - m} \right) > 0\\\dfrac{{2 - m}}{2} < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - 16\\m > 2\end{array} \right. \Rightarrow m > 2\)

TH2: Phương trình (***) có nghiệm kép dương.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 0\\{x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b'}}{a} > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}36 - 2\left( {2 - m} \right) = 0\\\dfrac{{ - 6}}{2} > 0\end{array} \right.\left( {vo\,\,ly} \right)\)

\( \Rightarrow \) Trường hợp này không tồn tại m thỏa mãn.

Vậy với \(m > 2\) thì phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt.