Cho hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^3} - 5{x...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Hàm đa thức bậc ba \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\). Hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có 3 cực trị khi hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có 2 cực trị trái dấu.

Giải chi tiết:

Để hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có đúng 3 cực trị thì hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^3} - 5{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 3\) có 2 cực trị trái dấu.

Trước hết cần điều kiện \(m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\).

Ta có \(y' = 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 10x + m + 3\). Để hàm số \(y = \left( {m - 1} \right){x^3} - 5{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 3\) có 2 cực trị trái dấu thì phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm trái dấy \( \Rightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 3} \right) < 0 \Leftrightarrow  - 3 < m < 1\).

Kết hợp điều kiện \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0} \right\}\)

Khi \(m = 1\) hàm số trở thành \(y =  - 5{x^2} + 4x + 3\) có 1 cực trị \(x = \frac{2}{5} > 0\). Khi đó hàm số \(f\left( {\left| x \right|} \right)\) có đúng 3 điểm cực trị.

Vậy \(m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1} \right\}\).

Chọn C.