Phương trình \(\sin x + \cos x - 2\sin x\cos x + 1...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\), khi đó \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

- Đưa phương trình về phương trình bậc 2 ẩn t

Giải chi tiết:

Đặt \(\sin x + \cos x = t\) điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\)  Lúc đó \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2}\)

Khi đó phương trình sẽ có dạng:   \(t - 2\left( {\frac{{{t^2} - 1}}{2}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\;\;\;\left( {tm} \right)\\t = 2\;\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,(*)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin x + \cos x =  - 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{4} = \pi  + \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi  + k2\pi \,\,\,\,\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Chọn A.