Tập nghiệm của phương trình  \(\sin \frac{{5x}}{2}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Do phương trình chứa\(\sin \frac{{5x}}{2};\,\sin \frac{x}{2}\) nên ta nhân cả 2 vế với\(\cos \frac{x}{2}\), dùng công thức biến đổi tích thành tổng

                        \(2\sin \frac{{5x}}{2}.\,\cos \frac{x}{2} = 10{\cos ^3}x\,.\,\sin \frac{x}{2}.\,\cos \frac{x}{2}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\sin 3x\, + \,\,\sin 2x\, = \,5{\cos ^3}x\,.\,\sin x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)

Chuyển vế, dùng công thức nhân bac và đặt nhân tử chung là \(\sin x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \,\,\,3\sin x\, - \,4{\sin ^3}x\, + \,2\sin x.\cos x\, = 5{\cos ^3}x\,.\,\sin x\\ \Leftrightarrow \,\,\,(3\, - \,4{\sin ^2}x\, + \,\cos x\, - 5{\cos ^3}x)\sin x\, = \,0\end{array}\)

Giải chi tiết:

+) Với \(\cos \frac{x}{2}\, = \,0\)   ta được  \(\cos x\, = \,2{\cos ^2}\frac{x}{2}\, - \,1\, = \, - 1\)  và  \(\sin \frac{x}{2}\, = \, \pm 1\,\,\, \Rightarrow \,\,\,VP\, = \, \pm 5\)

Khi đó phương trình (2) có dạng: \(\sin \frac{{5x}}{2}\, = \, \pm 5\) vô nghiệm.

+) Với \(\cos \frac{x}{2}\, \ne \,0\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{x}{2} \ne \frac{\pi }{2}\, + \,k\pi \,\, \Leftrightarrow \,\,\,x \ne \,\pi \, + \,k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)    

Nhân cả hai vế của phương trình (2) với  2\(\cos \frac{x}{2}\, \ne \,0\) ta được

\[\begin{array}{l}\;\;\;\;2\sin \frac{{5x}}{2}.\,\cos \frac{x}{2} = 10{\cos ^3}x\,.\,\sin \frac{x}{2}.\,\cos \frac{x}{2}\,\,\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,\sin 3x\, + \,\,\sin 2x\, = \,5{\cos ^3}x\,.\,\sin x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\, \Leftrightarrow \,\,\,3\sin x\, - \,4{\sin ^3}x\, + \,2\sin x.\cos x\, = 5{\cos ^3}x\,.\,\sin x\\ \Leftrightarrow \,\,\,(3\, - \,4{\sin ^2}x\, + \,\cos x\, - 5{\cos ^3}x)\sin x\, = \,0\\\, \Leftrightarrow \,\,(5{\cos ^3}x\, - \,4{\cos ^2}x\, - \,2\cos x\, + \,1)\,\sin x\, = \,0\\ \Leftrightarrow \,\,(5{\cos ^2}x\, + \cos x\, - \,1)(\cos x\, - \,1)\,\sin x\, = 0\,\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l}5{\cos ^2}x\, + \cos x\, - \,1\, = \,0\\\cos x\, - \,1\, = \,0\\\sin x\, = 0\,\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x\, = \,\frac{{1\, - \,\sqrt {21} }}{{10}}\, = \,\cos \alpha \left( {\alpha  \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)} \right)\\\cos x\, = \,\frac{{1\, + \,\sqrt {21} }}{{10}}\, = \,\cos \beta \left( {\beta  \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)} \right)\\\sin x\, = \,0\end{array} \right.\,\,\\\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x\, = \, \pm \alpha \, + \,k2\pi \\x\, = \, \pm \beta \, + \,m2\pi \\x\, = \,l\pi \end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x\, = \, \pm \alpha \, + \,k2\pi \\x\, = \, \pm \beta \, + \,m2\pi \\x\, = \,2l\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k,\;m,\;l \in \mathbb{Z}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{array}\]

Các nghiệm thõa đều thõa mãn \(\,x \ne \,\pi \, + \,k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;\;3\pi } \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < \,\alpha \, + \,{k_1}2\pi  < 3\pi  \Leftrightarrow {k_1} \in \left\{ {0;1} \right\}\\0 < \, - \alpha \, + \,{k_2}2\pi  < 3\pi  \Leftrightarrow {k_2} \in \left\{ 1 \right\}\\0 < \beta \, + \,{m_1}2\pi  < 3\pi  \Leftrightarrow {m_1} \in \left\{ {0;1} \right\}\\0 <  - \beta \, + \,{m_2}2\pi  < 3\pi  \Leftrightarrow {m_2} \in \left\{ 0 \right\}\\0 < \,2l\pi  < 3\pi  \Leftrightarrow l \in \left\{ 1 \right\}\end{array} \right.\)

Vậy có 7 nghiệm thõa mãn.