Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx +...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Giải hệ phương trình bằng phương pháp định thức.

+) Hệ phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow D \ne 0\).

+) Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm âm, tức là \(x < 0,\,\,y < 0\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{m + 2}\\1&m\end{array}} \right| = {m^2} - m - 2\)

\(\begin{array}{l}{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{m + 2}\\{2m + 3}&m\end{array}} \right| = 5m - \left( {m + 2} \right)\left( {2m + 3} \right) =  - 2{m^2} - 2m - 6\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&5\\1&{2m + 3}\end{array}} \right| = m\left( {2m + 3} \right) - 5 = 2{m^2} + 3m - 5\end{array}\)

Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(D \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 1\\m \ne 2\end{array} \right.\)

Khi đó nghiệm của hệ phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{{D_x}}}{D} = \frac{{ - 2{m^2} - m - 6}}{{{m^2} - m - 2}}\\y = \frac{{{D_y}}}{D} = \frac{{2{m^2} + 3m - 5}}{{{m^2} - m - 2}}\end{array} \right.\)

Xét \(f\left( x \right) =  - 2{m^2} - 2m - 6\) có \(\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2 < 0\\\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 2} \right)\left( { - 6} \right) =  - 11 < 0\end{array} \right. \Rightarrow f\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Để hệ phương trình có nghiệm âm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 2 > 0\\2{m^2} + 3m - 5 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 1\end{array} \right.\\ - \frac{5}{2} < m < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \frac{5}{2} < m <  - 1\).

Chọn D.