Xét các số thực dương x, y thỏa...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức logarit: \({\log _a}\dfrac{b}{c} = {\log _a}b - {\log _a}c\).

Biến đổi phương trình bài cho và sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTNN của hàm số đã cho.

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(xy < 1;\,\,x > 0;\,\,\,y > 0\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}{\log _3}\dfrac{{1 - xy}}{{x + 2y}} = 3xy + x + 2y - 4 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - xy} \right) - {\log _3}\left( {x + 2y} \right) = 3xy + x + 2y - 4\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - xy} \right) + 3\left( {1 - xy} \right) + 1 = {\log _3}\left( {x + 2y} \right) + x + 2y\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - xy} \right) + {\log _3}3 + 3\left( {1 - xy} \right) = {\log _3}\left( {x + 2y} \right) + x + 2y\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {3 - 3xy} \right) + 3 - 3xy = {\log _3}\left( {x + 2y} \right) + x + 2y\end{array}\)

Xét \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t{\rm{ }}\left( {t > 0} \right)\) . Ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0,\forall t > 0\) nên hàm số f(t) đồng biến trên (0;+∞). Suy ra \(f\left( {3 - 3xy} \right) = f\left( {x + 2y} \right) \Leftrightarrow 3 - 3xy = x + 2y \Leftrightarrow x + 2y + 3xy - 3 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Ta có P = x + y ⇒ x = P – y. Thay vào (1) ta có \( - 3{y^2} + \left( {3P + 1} \right)y + P - 3 = 0\)

Phương trình trên có nghiệm

\( \Leftrightarrow \Delta  = {\left( {3P + 1} \right)^2} + 12\left( {P - 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 9{P^2} + 18P - 35 \ge 0 \Leftrightarrow P \ge \dfrac{{2\sqrt {11}  - 3}}{3}{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}P > 0} \right)\)

Vậy GTNN của P là \(\dfrac{{2\sqrt {11}  - 3}}{3}\).

Chọn D.