Cho hình lập phương \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\)...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AD \bot AB\\AD \bot A{A_1}\end{array} \right\} \Rightarrow AD \bot \left( {AB{B_1}{A_1}} \right) \Rightarrow AD \bot {A_1}B\) ; \(\left. \begin{array}{l}{A_1}B \bot A{B_1}\\{A_1}B \bot AD\end{array} \right\} \Rightarrow {A_1}B \bot \left( {A{B_1}{C_1}D} \right)\)

Gọi \(H = {A_1}B \cap \left( {A{B_1}{C_1}D} \right) \Rightarrow H\)là trung điểm của \(A{B_1}\) 

Trong \(\left( {A{B_1}{C_1}D} \right)\) gọi \(G = {B_1}D \cap H{C_1}\)

Ta có: \(A{B_1} = a\sqrt 2 \) ; \(H{B_1} = \dfrac{1}{2}A{B_1} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\({B_1}D = \sqrt {A{B_1}^2 + A{D^2}}  = \sqrt {2{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 3 ,H{C_1} = \sqrt {HB_1^2 + {B_1}{C_1}^2}  = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{2} + {a^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Vì \(A{B_1}//{C_1}D\) nên áp dụng hệ quả định lý Ta lét ta có:

\(\dfrac{{H{B_1}}}{{{C_1}D}} = \dfrac{{HG}}{{G{C_1}}} = \dfrac{{{B_1}G}}{{GD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow HG = \dfrac{1}{3}H{C_1} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6};{B_1}G = \dfrac{1}{3}{B_1}D = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Ta có: \(H{G^2} + {B_1}{G^2} = \dfrac{{{a^2}}}{3} + \dfrac{{{a^2}}}{6} = \dfrac{{{a^2}}}{2} = H{B_1}^2 \Rightarrow \Delta {B_1}HG\) vuông tại G (Pi-ta-go đảo)

\( \Rightarrow HG \bot {B_1}D\)

Mà  \(\left. \begin{array}{l}{A_1}B \bot \left( {A{B_1}{C_1}D} \right)\\HG \subset \left( {A{B_1}{C_1}D} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow HG \bot {A_1}B\)\( \Rightarrow HG\) là đường vuông góc chung của \({A_1}B\) và \({B_1}D\)

\( \Rightarrow d\left( {{A_1}B;{B_1}D} \right) = HG = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

Chọn D.