Cho tam giác đều ABC cạnh 3a, điểm H thuộc AC với...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp dựng khoảng cách từ chân đường vuông góc dến một mặt phẳng.

Giải chi tiết:

Gọi D là trung điểm của AB. Vì tam giác ABC đều nên \(CD \bot AB\)

Trong (ABC) kẻ \(HE//CD \Rightarrow HE \bot AB\) , trong (SHE) kẻ \(HK \bot SE\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AB \bot HE\\AB \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow AB \bot HK\)

\(\left. \begin{array}{l}HK \bot AB\\HK \bot SE\end{array} \right\} \Rightarrow HK \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAB} \right)} \right) = HK\)

Vì tam giác ABC đều nên \(CD = 3a\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3\sqrt 3 a}}{2}\)

Theo định lý Ta-let ta có: \(\dfrac{{HE}}{{CD}} = \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow HE = \dfrac{2}{3}CD = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{3\sqrt 3 a}}{2} = \sqrt 3 a\)

Vì \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot HE \Rightarrow \Delta SHE\) vuông tại H

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{H{E^2}}} + \dfrac{1}{{S{H^2}}} = \dfrac{1}{{3{a^2}}} + \dfrac{1}{{4{a^2}}} = \dfrac{7}{{12{a^2}}}\) \( \Rightarrow HK = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}\)

Chọn A.