Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Qua M dựng đường thẳng MN song song với AB, khi đó \(d\left( {AB;SM} \right) = d\left( {AB;\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right)\)

Giải chi tiết:

Do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(\widehat {SCA} = 60^\circ \).

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) nên \(AC = 5a \Rightarrow SA = 5a\sqrt 3 \).

Gọi \(N\) là trung điểm \(BC\) nên \(MN{\rm{//}}\,AB \Rightarrow AB{\rm{//}}\,\left( {SMN} \right)\)

\(d\left( {AB;SM} \right) = d\left( {AB;\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right)\).

Từ \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(MN\) tại \(D\).

Do \(BC \bot AB \Rightarrow BC \bot MN \Rightarrow AD \bot MN\). Từ \(A\) kẻ \(AH\) vuông góc với \(SD\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}MD \bot AD\\MD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow MD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow MD \bot AH\)

Mà \(AH \bot SD \Rightarrow AH \bot \left( {SMD} \right)\) hay \(AH \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right) = AH\)

Do \(AD = BN = \frac{1}{2}BC = 2a\).

Xét \(\Delta SAD\) có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{75{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{{79}}{{300{a^2}}}\)

\( \Rightarrow d\left( {AB;SM} \right) = AH = \frac{{10\sqrt {237} a}}{{79}} = \frac{{10\sqrt 3 a}}{{\sqrt {79} }}\).

Chọn A.