Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\)...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Diện tích tam giác \(ABC\):

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin \widehat A = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{4}\).

Có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos \widehat {BAC}}  = a\sqrt 3 \).

Ta có: \(AB' = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \), \(AI = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\),

\(B'I = \sqrt {3{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}\).

Ta được \(A{B'^2} + A{I^2} = 2{a^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)^2} = \frac{{13{a^2}}}{4} = B'{I^2}\). Suy ra tam giác \(AB'I\) vuông tại \(A\), có diện tích bằng:

\({S_{AB'I}} = \frac{1}{2}.AB'.AI = \frac{1}{2}a\sqrt 2  \cdot \frac{{a\sqrt 5 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4}\).

Tam giác \(ABC\) là hình chiếu vuông góc của tam giác \(AB'I\) trên \(\left( {ABC} \right)\) nên ta có:

\({S_{ABC}} = \cos \alpha .{S_{AB'I}} \Leftrightarrow \cos \alpha  = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}:\frac{{{a^2}\sqrt {10} }}{4} = \frac{{\sqrt {30} }}{{10}}\).

Chọn B