Cho x, y là các số thực dương.Tìm giá trị nhỏ nhất...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta áp dụng các bất đẳng thức Cô Si quen thuộc sau: \({{(x+y)}^{2}}\le 2({{x}^{2}}+{{y}^{2}}).\)

Do đó:

\(\begin{align} & P=\frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)\sqrt{2({{x}^{2}}+{{y}^{2}})} \\ & \ge \frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)(x+y)=\frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{xy}+2 \\ & \ge \frac{4xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{xy}+2-\frac{3xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \\ & \ge 2\sqrt{4}+2-\frac{3({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}{2({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}=6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}. \\ \end{align}\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2xy \\ & \frac{4xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{xy} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{9}{2}.\)

Đạt tại chẳng hạn x = y = 1.

Chọn C