Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \), sử dụng giả thiết \(f\left( 0 \right) = 1;f\left( 1 \right) = 2\) tìm hằng số C.

+) Tính \(f\left( { - 1} \right);f\left( 3 \right)\) bằng cách thay \(x = -1\) và \(x = 3.\)

Giải chi tiết:

Ta có : \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx}  = 2\int {{1 \over {2x - 1}}dx}  = {2 \over 2}\ln \left| {2x - 1} \right| + C = \ln \left| {2x - 1} \right| + C\)

Xét trên khoảng \(\left( { - \infty ;{1 \over 2}} \right)\) ta có : \(f\left( x \right) = \ln \left( { - 2x + 1} \right) + C\)

\(f\left( 0 \right) = C = 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \ln \left( { - 2x + 1} \right) + 1\,\,\,\forall x \in \left( { - \infty ;{1 \over 2}} \right)\)

Xét trên khoảng \(\left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)\) ta có : \(f\left( x \right) = \ln \left( {2x - 1} \right) + C\)

\(f\left( 1 \right) = \ln 1 + C = 2 \Rightarrow C = 2 \Rightarrow f\left( x \right) = \ln \left( {2x - 1} \right) + 2\,\,\,\forall x \in \left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \left[ \matrix{  \ln \left( { - 2x + 1} \right) + 1\,\,khi\,x \in \left( { - \infty ;{1 \over 2}} \right) \hfill \cr   \ln \left( {2x - 1} \right) + 2\,\,\,khi\,\,x \in \left( {{1 \over 2}; + \infty } \right) \hfill \cr}  \right.\)

\( \Rightarrow f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right) = \ln 3 + 1 + \ln 5 + 2 = \ln 15 + 3\)

Chọn C.