Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' 

D

- Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ý tưởng: 1 - MN phải chăng sẽ là hai điểm đặc biệt nào đó

                 2 – Khi nhận ra M là trung điểm của BA’ thì ta tiến hành tính toán MN qua điểm A’ bằng cách lấy P thuộc BC’!

Dễ có mặt phẳng (BA’C’) vuông góc với AB’. Do đó để MN là nhỏ nhất thì M là giao của AB’ và BA’, N là điểm thuộc BC’ sao cho góc giữa MN và (A’B’C’D’) là $30°$.  Gọi P là điểm thuộc BC’sao cho A’P cũng hợp với mặt phẳng đáy một góc $30°$, khi đó MN là đường trung bình của tam giác BA’P nên $MN=\frac{1}{2}A\text{'}P$.

Giả sử độ dài đoạn B’H = x, khi đó PH = HC’ =  a – x (tam giác PC’H vuông cân tại C’), và $A\text{'}H=\sqrt{A\text{'}B{\text{'}}^2+B^{\text{'}}{H}^2}=\sqrt{a^2+x^2}$. Theo điều ta đã giả sử ở trên thì góc giữa A’P và (A’B’C’D’) =  $30°$, do đó

$\tan \left(\widehat{PA\text{'}H}\right)=\frac{PH}{A\text{'}H}=\frac{a-x}{\sqrt{a^2+x^2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ hay $\sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{3}\left(a-x\right)$(1)

Mặt khác ta lại có

$$\begin{gathered} A\text{'}P=\sqrt{A\text{'}{H}^2+H{P}^2} \\ =\sqrt{a^2+x^2+{(a-x)}^2} \\ =\sqrt{4{\left(a-x\right)}^2}=2\left(a-x\right) \end{gathered}$$ (2)

Từ (1) và (2) ta tính được $A\text{'}P=\frac{4a}{\sqrt{5}+1}$. Từ đây ta rút ra được $MN=\frac{2a}{\sqrt{5}+1}$.

Chọn phương án D.