Chọn ngẫu nghiên một số từ tập các số tự nhiên có...

A

- Hướng dẫn giải

Lời giải chi tiết:

Gọi số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau là \(\overline {abc} \,\,\left( {0 \le a,\,\,b,\,\,c \le 9,\,\,a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{N},\,\,a \ne 0} \right)\).

Số cách chọn \(a\) là 9 cách \(\left( {a \ne 0} \right)\).

Số cách chọn \(b\) là 9 cách \(\left( {b \ne a} \right)\).

Số cách chọn \(c\) là 8 cách \(\left( {c \ne a,\,\,b} \right)\).

\( \Rightarrow n\left( \Omega  \right) = 9.9.8 = 648\).

Gọi A là biến cố: “số được chọn có tích các chữ số là số dương và chia hết cho 6.”

Ta có \(abc > 0,\,\,abc\,\, \vdots \,\,6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}abc\,\, \vdots \,\,2\\abc\,\, \vdots \,\,3\end{array} \right.\).

+ Vì \(abc\,\, \vdots \,\,2\) thì ít nhất một trong các số \(a,\,\,b,\,\,c\) thuộc \(\left\{ {2;4;6;8} \right\}\).

+ Vì \(abc\,\, \vdots \,\,3\) thì ít nhất một trong các số \(a,\,\,b,\,\,c\) thuộc \(\left\{ {3;6;9} \right\}\).

Khi đó ta có các trường hợp sau:

+ TH1: \(\overline {abc} \) có mặt chữ số 6, suy ra có \(3.A_8^2 = 168\) (số).

+ TH2: \(\overline {abc} \) có mặt chữ số 3 hoặc 9, không có mặt chữ số 6 và có ít nhất một trong các số \(a,\,\,b,\,\,c\) thuộc \(\left\{ {2;4;8} \right\}\), có \(2.\left( {C_3^1.C_3^1.3! + C_3^2.3!} \right) + C_3^1.3! = 162\) (số).

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 168 + 162 = 330\) (số).

Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{330}}{{6498}} = \dfrac{{55}}{{108}}\).

Chọn A.