Xét các hình chóp  S.ABC có

D

- Hướng dẫn giải

Đáp án D

Đặt $AC=x\left(x>0\right)$

Gọi H là trung điểm của AC khi đó $\left\{\begin{array}{l}BH\perp AC\\ SH\perp AC\end{array}\right.$

Suy ra $AC\perp \left(SHB\right)$. Gọi E là trung điểm của SB ta có: $CE=AE=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Do tam giác EAC cân tại E nên

$EH\perp AC\Rightarrow HE=\sqrt{C{E}^2-C{H}^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{x^2}{4}}.$ 

Ta có: $V_{ABCD}=V_{C.SHB}+V_{A.SHB}=\frac{1}{3}.AC.S_{SHB}=\frac{1}{3}x.\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{x^2}{4}.\frac{a}{2}}$ 

Lại có $\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{x^2}{4}}.x=2.\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{x^2}{4}}.\frac{x}{2}\le \left(\frac{3a^2}{4}-\frac{x^2}{4}+\frac{x^2}{4}\right)$ 

$=\frac{3a^2}{4}\Rightarrow V_{S.ABC}\le \frac{a^3}{8}\Rightarrow V_{m\text{ax}}=\frac{a^3}{8}.$ 

Dấu bằng xảy ra $\iff 3a^2=2x^2\iff x=\frac{a\sqrt{6}}{2}.$