Cho hàm số

D

- Hướng dẫn giải

Đáp án D.

$y\text{'}=3x^2-12x+9$

Gọi $M\left(x_0;x_0^3-6x_0^2+9x_0-1\right)$ là một điểm bất kì thuộc (C)  . Tiếp tuyến tại M:

 $y=\left(3x_0^2-12x_0+9\right)\left(x-x_0\right)$$+x_0^3-6x_0^2+9x_0-1$

$\iff y=\left(3x_0^2-12x_0+9\right)x-2x_0^3+6x_0^2-1$

Gọi $A\left(a;a-1\right)$ là một điểm bất kì thuộc đường thẳng $y=x-1$  .

Tiếp tuyến tại M đi qua  $A\iff \left(3x_0^2-12x_0+9\right)a$$-2x_0^3+6x_0^2-1=a-1$

$\iff \left(3x_0^2-12x_0+8\right)a=2x_0^3-6x_0^2$(*).

Từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến $\left(C\right)\iff \left(*\right)$   có hai nghiệm  phân biệt.

Ta có  

$\begin{array}{l}3x_0^2-12x_0+8=0\\ \iff x_0=\frac{6\pm 2\sqrt{3}}{3}\end{array}$

Dễ thấy $x_0=\frac{6\pm 2\sqrt{3}}{3}$ không thỏa mãn .

Với  $x_0\ne \frac{6\pm 2\sqrt{3}}{3}$thì  $\left(*\right)\iff a=\frac{2x_0^3-6x_0^2}{3x_0^2-12x_0+8}$.

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x^3-6x^2}{3x^2-12x+8}$. Ta có $f\text{'}\left(x\right)=\frac{6\left(x^4-8x^3+20x^2-16x\right)}{{\left(3x^2-12x+8\right)}^2}$.

Bảng biến thiên của :

Vậy để (*) có 2 nghiệm phân biệt thì $a\in \left\{0;4\right\}$  . Suy ra tập $T=\left\{\left(0;-1\right),\left(4;3\right)\right\}$

Do đó tổng tung độ các điểm thuộc T bằng 2.