Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Dựng đoạn vuông góc chung của $BD$ và $SC$.

+) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính độ dài đường vuông góc chung.

Giải chi tiết:

Vì chóp $S.ABCD$ đều $\Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

Trong $\left( {SOC} \right)$ kẻ $OH \bot SC\,\,\left( {H \in SC} \right)$.

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SOC} \right) \Rightarrow OH \bot BD$

$\Rightarrow OH$ là đoạn vuông góc chung của $BD$ và $SC$$\Rightarrow d\left( {BD;SC} \right) = OH$.

 $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a \Rightarrow OC = \dfrac{{2a\sqrt 2 }}{2} = a\sqrt 2$

$\Rightarrow SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}}  = \sqrt {5{a^2} - 2{a^2}}  = a\sqrt 3$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $SOC$ : $OH = \dfrac{{SO.OC}}{{SC}} = \dfrac{{a\sqrt 3 .a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{5}$.

Vậy $d\left( {BD;SC} \right) = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{5}$.

Chọn B.