Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Dựng đoạn vuông góc chung của \(BD\) và \(SC\).

+) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính độ dài đường vuông góc chung.

Giải chi tiết:

Vì chóp \(S.ABCD\) đều \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Trong \(\left( {SOC} \right)\) kẻ \(OH \bot SC\,\,\left( {H \in SC} \right)\).

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SOC} \right) \Rightarrow OH \bot BD\)

\( \Rightarrow OH\) là đoạn vuông góc chung của \(BD\) và \(SC\)\( \Rightarrow d\left( {BD;SC} \right) = OH\).

 \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a \Rightarrow OC = \dfrac{{2a\sqrt 2 }}{2} = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}}  = \sqrt {5{a^2} - 2{a^2}}  = a\sqrt 3 \).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOC\) : \(OH = \dfrac{{SO.OC}}{{SC}} = \dfrac{{a\sqrt 3 .a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{5}\).

Vậy \(d\left( {BD;SC} \right) = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{5}\).

Chọn B.