Cho \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx}  = 201...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 Sử dụng phương pháp đưa vào trong vi phân để tính \(\int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right)dx} ;\,\int\limits_0^2 {f\left( {4 - 2x} \right)dx} \)

Sử dụng tính chất \(\int\limits_a^b {\left( {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} } \)

Và tính chất tích phân không phụ thuộc vào biến : \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt = \int\limits_a^b {f\left( u \right)du} } \)

Giải chi tiết:

Ta có \(\int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right)dx}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right)d\left( {2x} \right)} \)

Đặt \(2x = t\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 2 \Rightarrow t = 4\end{array} \right.\) nên

\(\int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right)dx}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right)d\left( {2x} \right)}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^4 {f\left( t \right)d\left( t \right)}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^4 {f\left( x \right)d\left( x \right) = \dfrac{1}{2}.2018 = 1009} \)

Lại có \(\int\limits_0^2 {f\left( {4 - 2x} \right)dx}  =  - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( {4 - 2x} \right)d\left( {4 - 2x} \right)} \)

Đặt \(4 - 2x = u\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 4\\x = 2 \Rightarrow u = 0\end{array} \right.\) nên

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\int\limits_0^2 {f\left( {4 - 2x} \right)dx}  =  - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( {4 - 2x} \right)d\left( {4 - 2x} \right)}  =  - \dfrac{1}{2}\int\limits_4^0 {f\left( u \right)du} \\ = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^4 {f\left( u \right)du}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx = \dfrac{1}{2}.2018 = 1009} \end{array}\)

Khi đó \(I = \int\limits_0^2 {\left[ {f\left( {2x} \right) + f\left( {4 - 2x} \right)} \right]dx}  = \int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right)dx}  + \int\limits_0^2 {f\left( {4 - 2x} \right) = 1009 + 1009 = 2018} \)

Chọn C.