Cho đường tròn \(\left( O \right)\), \(A\) là điểm...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm phần giới hạn của tâm \(I\).

Giải chi tiết:

Phần thuận:

Gọi \(D\) là giao điểm của \(AO\) với đường tròn \(\left( I \right)\).

Xét \(\Delta OAB\) và \(\Delta OCD\) có:

\(\angle OAB = \angle OCD\) (cùng chắn cung \(BD\)).

\(\angle AOB = \angle COD\) (đổi đỉnh)

Vậy \(I\) thuộc đường thẳng \(d\) cố định là trung trực của đoạn thẳng \(AD\).

Giới hạn:

Khi \(BOC\) qua \(A\) thì \(I \equiv {I_1}\) (\({I_1}\) là trung điểm của \(AD\)).

Khi \(BOC\) không qua \(A\) thì \(I\) chạy vô tận trên đường thẳng \(d\).

Vậy \(I\) chuyển động trên đường thẳng \(d\) trừ đoạn \({I_1}\) là trung điểm của đoạn \(AD\) là trung trực của đoạn thẳng \(AD\)).

Phần đảo:

Lấy điểm \(I\) bất kì thuộc đường thẳng \(\left( d \right)\) \(\left( {I \ne {I_1}} \right)\). Vẽ đường tròn \(\left( {I;IA} \right)\)  cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(B\). \(BO\) cắt \(\left( {I;IA} \right)\)  tại \(C\). Ta có \(IA = ID\) nên suy ra \(D\) thuộc \(\left( {I;IA} \right)\).

Kết luận: Tập hợp các điểm \(I\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AD\) (với \(D\) thuộc tia đối của \(OA\) và \(OD\) trừ điểm \({I_1}\)).