Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $I$ là gia...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AB$ cắt đường thẳng $BI$ tại $K.$

- Chứng minh tam giác $AIK$ cân tại $A$.

- Kẻ $AH \bot BK$ tại $H.$ Đặt $x = IH = IK.$

- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABK$ tìm $x$.

- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $ABK$ tính $AB$.

Giải chi tiết:

Qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AB$ cắt đường thẳng $BI$ tại $K.$

Do tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên đường phân giác $AI$ cũng là đường cao kẻ từ $A.$

Ta có: $\widehat K + \widehat {{B_1}} = {90^0},$ $\widehat {{I_2}} + \widehat {{B_2}} = {90^0},$ $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$ ($BI$ là phân giác của $\widehat B$) và $\widehat {{I_1}} = \widehat {{I_2}}$ (hai góc đối đỉnh).

Suy ra $\widehat K = \widehat {{I_1}} \Rightarrow \Delta AIK$ cân tại $A \Rightarrow AK = AI = 2\sqrt 5$.

Kẻ $AH \bot BK$ tại $H,$ khi đó $H$ là trung điểm $IK.$

Đặt $x = IH = IK.$

Xét tam giác $ABK$ vuông tại $A,$ có đường cao $AH,$ ta có: 

$\begin{array}{l}A{K^2} = HK.BK\\ \Rightarrow {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} = x.\left( {3 + 2x} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x - 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 5} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = 2,5\end{array}$

(do $x$ là độ dài đoạn thẳng nên $x > 0$).

Suy ra $BK = 2x + 3 = 8.$

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác $ABK$ vuông tại $A:$

$\begin{array}{l}B{K^2} = A{B^2} + A{K^2} \Rightarrow {8^2} = A{B^2} + {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = 44 \Rightarrow AB = 2\sqrt {11} .\end{array}$

Vậy $AB = 2\sqrt {11}$.

Chọn C.