Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(I\) là gia...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Qua \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) cắt đường thẳng \(BI\) tại \(K.\)

- Chứng minh tam giác \(AIK\) cân tại \(A\).

- Kẻ \(AH \bot BK\) tại \(H.\) Đặt \(x = IH = IK.\)

- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABK\) tìm \(x\).

- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABK\) tính \(AB\).

Giải chi tiết:

Qua \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) cắt đường thẳng \(BI\) tại \(K.\)

Do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên đường phân giác \(AI\) cũng là đường cao kẻ từ \(A.\)

Ta có: \(\widehat K + \widehat {{B_1}} = {90^0},\) \(\widehat {{I_2}} + \widehat {{B_2}} = {90^0},\) \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (\(BI\) là phân giác của \(\widehat B\)) và \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{I_2}}\) (hai góc đối đỉnh).

Suy ra \(\widehat K = \widehat {{I_1}} \Rightarrow \Delta AIK\) cân tại \(A \Rightarrow AK = AI = 2\sqrt 5 \).

Kẻ \(AH \bot BK\) tại \(H,\) khi đó \(H\) là trung điểm \(IK.\)

Đặt \(x = IH = IK.\)

Xét tam giác \(ABK\) vuông tại \(A,\) có đường cao \(AH,\) ta có: 

\(\begin{array}{l}A{K^2} = HK.BK\\ \Rightarrow {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2} = x.\left( {3 + 2x} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x - 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 5} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = 2,5\end{array}\)

(do \(x\) là độ dài đoạn thẳng nên \(x > 0\)).

Suy ra \(BK = 2x + 3 = 8.\)

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác \(ABK\) vuông tại \(A:\)

\(\begin{array}{l}B{K^2} = A{B^2} + A{K^2} \Rightarrow {8^2} = A{B^2} + {\left( {2\sqrt 5 } \right)^2}\\ \Rightarrow A{B^2} = 44 \Rightarrow AB = 2\sqrt {11} .\end{array}\)

Vậy \(AB = 2\sqrt {11} \).

Chọn C.