Giải phương trình nghiệm nguyên \({x^6} - {x^4} +...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phân tích vế trái về dạng ước số.

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x^6} - {x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} = {y^2} \Leftrightarrow \left( {{x^6} + 2{x^3} + 1} \right) - \left( {{x^4} - 2{x^2} + 1} \right) = {y^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^3} + 1} \right)^2} - {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = {y^2} \Leftrightarrow \left( {{x^3} - {x^2} + 2} \right)\left( {{x^3} + {x^2}} \right) = {y^2}\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 1} \right)\left( {{x^3} + {x^2} - 2{x^2} + 2} \right) = {y^2}\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 1} \right)\left[ {{x^2}\left( {x + 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] = {y^2}\\ \Leftrightarrow {x^2}{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) = {y^2}\end{array}\)

+ Với \(y = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 1\end{array} \right.\).

+ Với \(x \ne 0\), ta thấy VP là số chính phương và \({x^2}{\left( {x + 1} \right)^2}\) cũng là số chính phương, do đó \({x^2} - 2x + 2\) là số chính phương. Đặt \({x^2} - 2x + 2 = {k^2}\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) ta có:

\({x^2} - 2x + 1 + 1 = {k^2} \Leftrightarrow {k^2} - {\left( {x - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left( {k - x + 1} \right)\left( {k + x - 1} \right) = 1\).

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}k - x + 1 = 1\\k + x - 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\k = 1\end{array} \right. \Rightarrow 4 = {y^2} \Leftrightarrow y =  \pm 2\,\,\left( {tm} \right).\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}k - x + 1 =  - 1\\k + x - 1 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\k =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow 4 = {y^2} \Leftrightarrow y =  \pm 2\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy phương trình có nghiệm nguyên \(\left( {0;0} \right);\,\,\left( {0; - 1} \right);\,\,\left( {1;2} \right);\,\,\left( {1; - 2} \right)\).

Chọn A.