Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \(5\left(...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Vì vai trò của \(x,y,z,t\) là như nhau nên ta giả sử \(x \ge y \ge z \ge t \ge 1\)

Sau đó chia cả 2 vế của phương trình cho \(xyzt\)

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}5\left( {x + y + z + t} \right) + 10 = 2xyzt\\ \Leftrightarrow 2 = \frac{5}{{yzt}} + \frac{5}{{xzt}} + \frac{5}{{xyt}} + \frac{5}{{xyz}} + \frac{{10}}{{xyzt}} \le \frac{{30}}{{{t^3}}} \Rightarrow {t^3} \le 15 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 2\end{array} \right.\end{array}\)

* Với \(t = 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}5\left( {x + y + z + t} \right) + 10 = 2xyz\\ \Leftrightarrow 2 = \frac{5}{{yz}} + \frac{5}{{xz}} + \frac{5}{{xy}} + \frac{{15}}{{xyz}} \le \frac{{30}}{{{z^2}}} \Rightarrow {z^2} \le 15 \Rightarrow z = \left\{ {1;2;3} \right\}\end{array}\)

Nếu \(z = 1\) có \(5\left( {x + y} \right) + 20 = 2xy \Leftrightarrow \left( {2x - 5} \right)\left( {2y - 5} \right) = 65 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 35\\y = 3\end{array} \right.\)hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 5\end{array} \right.\)

Ta được nghiệm \(\left( {35;3;1;1} \right),\left( {9;5;1;1} \right)\)và các hoán vị của chúng

Với \(z = 2;z = 3\) phương trình không có nghiệm nguyên

* Với \(t = 2\) thì \(5\left( {x + y + z} \right) + 20 = 4xyz \Leftrightarrow 4 = \frac{5}{{xy}} + \frac{5}{{yz}} + \frac{5}{{xz}} + \frac{{20}}{{xyz}} \le \frac{{35}}{{{z^2}}}\)

\( \Rightarrow {z^2} \le \frac{{35}}{4} \le 9 \Rightarrow z = 2\) vì \(z \ge t \ge 2\)\( \Rightarrow \left( {8x - 5} \right)\left( {8y - 5} \right) = 265\)

Do \(x \ge y \ge z \ge 2\) nên \(8x - 5 \ge 8y - 5 \ge 11\)\( \Rightarrow \left( {8x - 5} \right)\left( {8y - 5} \right) = 265\) vô nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình là \(\left( {x;y;z;t} \right) = \left( {35;3;1;1} \right),\left( {9;5;1;1} \right)\)và các hoán vị

Chọn D.