Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là ba số hữu tỉ thỏa mãn \(a...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ (dùng giả thiết để đưa về kết luận).

Giải chi tiết:

Đặt \(\dfrac{a}{{{b^2}}} = x;\,\,\dfrac{b}{{{c^2}}} = y;\,\,\,\dfrac{c}{{{a^2}}} = z \Leftrightarrow xyz = \dfrac{a}{{{b^2}}}.\dfrac{b}{{{c^2}}}.\dfrac{c}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{abc}} = 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,x + y + z = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}\\ \Leftrightarrow xyz - xy - yz - xz + x + y + z - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 1}\\{z = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = {b^2}}\\{b = {c^2}}\\{c = {a^2}}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy với \(a,\,\,b,\,\,c\) là ba số hữu tỉ thỏa mãn \(abc = 1\) và \(\dfrac{a}{{{b^2}}} + \dfrac{b}{{{c^2}}} + \dfrac{c}{{{a^2}}} = \dfrac{{{b^2}}}{a} + \dfrac{{{c^2}}}{b} + \dfrac{{{a^2}}}{c}\), ta được ít nhất một trong ba số \(a,b,c\) là bình phương của một số hữu tỉ.