Hình phẳng  \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định hai hàm số của đồ thị (C) và (P). Từ đó tính diện tích phần tô đậm. Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a;\,\,x = b\) được tính theo công thức : \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Giải chi tiết:

Giả sử \(\left( C \right):y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 =  - a + b - c + d\\2 = d\\0 = a + b + c + d\\ - 2 = 8a + 4b + 2c + d\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + b - c =  - 4\\a + b + c =  - 2\\8a + 4b + 2c =  - 4\\d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 3\\c = 0\\d = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( C \right):y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\)

Giả sử \(\left( P \right):y = m{x^2} + nx + l,\,\left( {m \ne 0} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 = m - n + l\\0 = m + n + l\\ - 2 = 4m + 2n + l\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 1\\n = 1\\l = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( P \right):y = g\left( x \right) =  - {x^2} + x\)

Diện tích cần tìm là:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {f(x) - g(x)} \right)dx}  - \int\limits_1^2 {\left( {f(x) - g(x)} \right)dx} \\ = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)dx}  - \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\dfrac{1}{4}{x^4} - \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right|_{ - 1}^1 - \left. {\left( {\dfrac{1}{4}{x^4} - \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}{x^2} + 2x} \right)} \right|_1^2\\ = \left( {\dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} + 2} \right) - \left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} - 2} \right) - \left( {4 - \dfrac{{16}}{3} - 2 + 4} \right) + \left( {\dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} + 2} \right) = \dfrac{{37}}{{12}}\end{array}\)

Chọn: A