a) Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt 2 \left( {\sqrt 2...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức khai phương của một tích và hằng đẳng thức: \(\sqrt A .\sqrt B  = \sqrt {AB} ,\,\,\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right..\)

b) Lập phương trình hoành độ của hai đồ thị hàm số.

+) Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì hoành độ giao điểm bằng 0.

+) Khi đó phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm \(x = 0.\) Thay nghiệm đó vào phương trình hoành độ để tìm m.

Giải chi tiết:

 \(\begin{array}{l}a)\,\,A = \sqrt 2 \left( {\sqrt 2  + \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right) - 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2 + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  - 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2 + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - 2.\sqrt 3 .1 + 1}  - 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2 + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}}  - 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2 + \left| {\sqrt 3  - 1} \right| - 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2 + \sqrt 3  - 1 - 1\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 3  - 1 > 0} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {3.} \end{array}\)

b) Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi \(a \ne a' \Leftrightarrow 1 \ne m - 2 \Leftrightarrow m \ne 3\)

Giả sử hai đồ thị cắt nhau tại điểm \(A \in Oy \Rightarrow A\left( {0;\,{y_A}} \right).\)

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là:

\(\begin{array}{l}x + {m^2} + 2 = \left( {m - 2} \right)x + 11\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)x = {m^2} - 9.\,\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)x = \left( {m - 3} \right)\left( {m + 3} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Hai đồ thị cắt nhau tại A nên khi đó \(x = 0\) là nghiệm của phương trình (*).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0.\left( {m - 3} \right) = \left( {m - 3} \right)\left( {m + 3} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 3 = 0\\m + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m =  - 3\end{array} \right..\end{array}\)

Với m = 3 (loại) do 2 đường thẳng trên trùng nhau.

Vậy với \(m =  - 3\) thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung.