Biết \(\int\limits_0^3 {x\ln \left( {{x^2} + 16} \...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đổi biến số với \(t = {x^2} + 16\) và áp dụng phương pháp từng phần bằng cách đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln t\\{\rm{d}}v = {\rm{d}}t\end{array} \right.\)

Giải chi tiết:

Đặt \(t = {x^2} + 16 \Leftrightarrow {\rm{d}}t = 2x\,{\rm{d}}x\) suy ra \(I = \int\limits_0^3 {x\ln \left( {{x^2} + 16} \right)\,{\rm{d}}x}  = \frac{1}{2}.\int\limits_{16}^{25} {\ln t\,{\rm{d}}t} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln t\\{\rm{d}}v = {\rm{d}}t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \frac{{{\rm{d}}t}}{t}\\v = t\end{array} \right.\) suy ra \(\int\limits_{16}^{25} {\ln t\,{\rm{d}}t}  = \left. {t.\ln t} \right|_{16}^{25} - \int\limits_{16}^{25} {t.\frac{1}{t}\,{\rm{d}}t}  = \left. {\left( {t.\ln t - t} \right)} \right|_{16}^{25}\)

\( = 25.\ln 25 - 25 - 16.\ln 16 + 16 = 50.\ln 5 - 64.\ln 2 - 9\)\( \Rightarrow \,\,I = 25.\ln 5 - 32.\ln 2 - \frac{9}{2}.\)

Vậy \(a = 25;\,\,b =  - \,32;\,\,c =  - \,9 \Rightarrow T = a + b + c =  - \,16.\)

Chọn B