Trong khoảng \(\left( {0\,\,;\,\,{\pi  \over 2}} \...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

TH1: Kiểm tra xem \(\cos 4x=0\,\,\left( \sin 4x=\pm 1 \right)\) có thỏa mãn là nghiệm của không?

TH2: Khi \(\cos 4x\ne 0\). Chia 2 vế phương trình cho \({{\cos }^{2}}4x\).

Giải chi tiết:

Trường hợp 1: \(\cos 4x = 0 \Leftrightarrow 4x = {\pi  \over 2} + k\pi  \Leftrightarrow x = {\pi  \over 8} + {{k\pi } \over 4}\,\,\left( {k \in Z} \right)\). Khi đó \({\sin ^2}4x = 1\)

Thay vào phương trình ta có:\(1 + 3.0 - 4.0 = 0 \Leftrightarrow 1 = 0\,\,\left( {Vô \, lý} \right)\)

\( \Rightarrow x = {\pi  \over 8} + {{k\pi } \over 4}\,\,\left( {k \in Z} \right)\)  không là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: \(\cos 4x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne {\pi  \over 8} + {{k\pi } \over 4}\,\,\left( {k \in Z} \right)\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}4x\) ta được:

 \({{{{\sin }^2}4x} \over {{{\cos }^2}4x}} + 3{{\sin 4x} \over {\cos 4x}} - 4 = 0 \Leftrightarrow {\tan ^2}4x + 3\tan 4x - 4 = 0\)

Đặt \(\tan 4x = t\). Khi đó phương trình trở thành

\(\eqalign{
& {t^2} + 3t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = - 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\tan 4x = 1 \hfill \cr
\tan 4x = - 4 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
4x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
4x = \arctan \left( { - 4} \right) + k\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over {16}} + {{k\pi } \over 4} \hfill \cr
x = {1 \over 4}\arctan \left( { - 4} \right) + {{k\pi } \over 4} \hfill \cr} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

Xét nghiệm \(x = {\pi  \over {16}} + {{k\pi } \over 4}\,\,\left( {k \in Z} \right),\,x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{0 < {\pi \over {16}} + {{k\pi } \over 4} < {\pi \over 2} \hfill \cr k \in Z \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{0 < {1 \over {16}} + {k \over 4} < {1 \over 2} \hfill \cr k \in Z \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{- {1 \over 4} < k < {7 \over 4} \hfill \cr k \in Z \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{k = 0 \hfill \cr k = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = {{5\pi } \over {16}} \hfill \cr x = {{9\pi } \over {16}} \hfill \cr} \right.\)

Xét nghiệm \(x = {1 \over 4}\arctan \left( { - 4} \right) + {{k\pi } \over 4}\,\,\left( {k \in Z} \right);\,\,x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{0 < {1 \over 4}\arctan \left( { - 4} \right) + {{k\pi } \over 4} < {\pi \over 2} \hfill \cr k \in Z \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{- {1 \over 4}\arctan \left( { - 4} \right) < {{k\pi } \over 4} < {\pi \over 2} - {1 \over 4}\arctan \left( { - 4} \right) \hfill \cr k \in Z \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{0,42 < k < 2,42 \hfill \cr k \in Z \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{k = 1 \hfill \cr k = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = {1 \over 4}\arctan \left( { - 4} \right) + {\pi \over 4} \hfill \cr x = {1 \over 4}\arctan \left( { - 4} \right) + {\pi \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy phương trình có 4 nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0\,\,;\,\,{\pi  \over 2}} \right)\)

Chọn D.