Kí hiệu \(S\) là diện tích của hình phẳng giới hạn...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm tìm các nghiệm thuộc \(\left[ {0;\pi } \right]\).

Áp dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = f\left( x \right),\,\,y = 0,\,\,x = a,\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \)

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(x\sin x = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \hfill \cr   \sin 0 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \in \left[ {0;\pi } \right] \hfill \cr   x = \pi  \in \left[ {0;\pi } \right] \hfill \cr}  \right.\)

Diện tích hình phẳng cần tính là \(S = \int\limits_0^\pi  {\left| {x.\sin x} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^\pi  {x.\sin x\,{\rm{d}}x} \) (\(x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow x\sin x > 0\)).

Đặt \(\left\{ \matrix{  u = x \hfill \cr   {\rm{d}}v = \sin x\,{\rm{d}}x \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {\rm{d}}u = {\rm{d}}x \hfill \cr   v =  - \,\cos x \hfill \cr}  \right.\,\, \Rightarrow \,\,S =  - \,\left. {x.\cos x} \right|_0^\pi  + \int\limits_0^\pi  {\cos x\,{\rm{d}}x}  = \left. {\left( {\sin x - x.\cos x} \right)} \right|_0^\pi  = \pi \)

Vậy \(S = \pi \, \Rightarrow \,\,\cos 2S = \cos 2\pi  = 1.\)

Chọn D.