Cho \(F\left( x \right) = {x^2}\) là nguyên hàm củ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- F(x) được gọi là 1 nguyên hàm của hàm số f(x) khi và chỉ khi \(\int {f\left( x \right)dx}  = F\left( x \right)\) và \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b.\)

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Trong các tích phân đã xuất hiện dạng vi phân \(f'\left( x \right)dx\) thì ta đặt \(dv = f'\left( x \right)dx\).

- Đồng nhất thức.

Giải chi tiết:

Vì \({x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right){e^{2x}} \Rightarrow \int {f\left( x \right){e^{2x}}\,{\rm{d}}x}  = {x^2}.\)

Đặt \(\left\{ \matrix{  u = {e^{2x}} \hfill \cr   {\rm{d}}v = f'\left( x \right){\rm{d}}x \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {\rm{d}}u = 2{e^{2x}}{\rm{d}}x \hfill \cr   v = f\left( x \right) \hfill \cr}  \right.,\) khi đó \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right){e^{2x}}{\rm{d}}x}  = \left. {f\left( x \right){e^{2x}}} \right|_0^1 - 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right){e^{2x}}\,{\rm{d}}x} .\)

Suy ra \(I = {e^2}f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) - 2\left. {{x^2}} \right|_0^1 =  - \,\left( { - \,1} \right) - 2 =  - \,1.\)

Vậy \(I =  - \,1.\)

Chọn B.