Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+2m{{x}^{2}}+\left( m+3 \r...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng. Nếu đồ thị là hàm số bậc 3 thì sẽ có 3 giao điểm. Trong đó thường sẽ có 1 giao điểm xác định được cụ thể, gọi điểm đó là A. 2 điểm chưa xác định được cụ thể gọi là \(B\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right);\,\,C\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\)

+ Trong đó \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\)là nghiệm của 1 phương trình bậc 2 : \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\)

+ Sau đó áp dụng định lý viet : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)

+ Ta có:

\(\begin{align} (d):y=ax+b \\  B\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right);C\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\in (d)\Rightarrow BC=\sqrt{\left( {{a}^{2}}+1 \right){{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}}=\sqrt{\left( {{a}^{2}}+1 \right).\left( {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}};{{x}_{2}} \right)} \\ \end{align}\)

Giải chi tiết:

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng ta có:

\(\begin{array}{l}{x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4 = x + 4 \Rightarrow x\left( {{x^2} + 2mx + \left( {m + 2} \right)} \right) = 0.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + 2mx + \left( {m + 2} \right) = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Gọi \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\) là 2 nghiệm phân biệt của (1) \(\Rightarrow B\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right);\,\,C\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\)

Điều kiện để (1) có 2 nghiệm phân biệt :

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {b^2} - 4ac = {(2m)^2} - 4(m + 2) = 4\left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) > 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 1\end{array} \right.\\{x_1} + {x_2} =  - 2m\\{x_1}.{x_2} = m + 2\end{array} \right.\)

Vì B, C thuộc đường thẳng (d) nên ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{KBC}} = \frac{1}{2}.d\left( {K;\left( d \right)} \right).BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}.\frac{{\left| {1 - 3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }}.\sqrt {2\left( {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right)}  = 8\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt {2\left( {4{m^2} - 4\left( {m + 2} \right)} \right)}  = 16\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4\left( {m + 2} \right) = 128 \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m - 136 = 0\\ \Rightarrow {m^2} - m - 34 \Rightarrow m = \frac{{1 \pm \sqrt {137} }}{2}\end{array}\)

Chọn đáp án C.