Tính \(K = \int\limits_{ - 3}^{e - 4} {\left( {x +...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để làm bài toán:  

 \(\int\limits_a^b {u\left( x \right)v'\left( x \right)dx}  = \left. {\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)} u'\left( x \right)dx\)

Khi tích phân từng phần ta chú ý: \(I = \int {p\left( x \right).\ln f\left( x \right)dx} \( thì ta đặt:\(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln f\left( x \right)\\dv = p\left( x \right)dx\end{array} \right.\).

Giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 4} \right)\\dv = \left( {x + 4} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{{x + 4}}dx\\v = \frac{1}{2}{\left( {x + 4} \right)^2}\end{array} \right.\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}I = \left. {\frac{1}{2}{{\left( {x + 4} \right)}^2}\ln \left( {x + 4} \right)} \right|_{ - 3}^{e - 4} - \int\limits_{ - 3}^{e - 4} {\frac{1}{2}} \left( {x + 4} \right)dx\\I = \left. {\frac{1}{2}{{\left( {x + 4} \right)}^2}\ln \left( {x + 4} \right)} \right|_{ - 3}^{e - 4} - \left. {\frac{1}{4}{{\left( {x + 4} \right)}^2}} \right|_{ - 3}^{e - 4}\\I = \frac{{{e^2} + 1}}{4}\end{array}\)

Chọn D.