Cho \(A\) là điểm cố định trên đường tròn \(\left(...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn để chứng minh \(\widehat {ABD} = {90^0} \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta AHC\).

Tính độ dài \(AH\) từ tính chất hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra điều kiện để diện tích tam giác \(ABC\) lớn nhất.

Giải chi tiết:

Kẻ \(AH \bot BC,\,OI \bot BC\), đường kính \(AD.\)

Ta chứng minh được \(\Delta AHC \sim \Delta ABD\,\left( {g - g} \right).\)

Do đó \(\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AD}} \Rightarrow AH.AD = AB.AC \Rightarrow AB.AC = 2R.AH\,\,\left( 1 \right).\)

Theo giả thiết \(\sqrt {AB.AC}  = R\sqrt 3 ,\) nên \(AB.AC = 3{R^2}\,\,\left( 2 \right).\)

Thay \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 1 \right)\) ta có \(AH = \frac{{3R}}{2}.\)

Lại có \(OI + OA \ge AI \ge AH\) nên \(OI \ge AH - OA = \frac{{3R}}{2} - R = \frac{R}{2}.\)

Do \(AH = \frac{{3R}}{2}\) là giá trị không đổi nên \({S_{ABC}}\) lớn nhất khi \(BC\) lớn nhất \( \Leftrightarrow OI\) nhỏ nhất

\( \Leftrightarrow OI = \frac{R}{2} \Leftrightarrow BC \bot OA \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại \(A\).

Mà \(OI = \frac{R}{2} \Rightarrow \sin \widehat {OBI} = \frac{{OI}}{{OB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {OBI} = \widehat {OCI} = {30^0} \Rightarrow \widehat {BOC} = {120^0}\) \( \Rightarrow \widehat {BAC} = {60^0}\)

Vậy \(\Delta ABC\) đều.

Chọn đáp án B.