Cho $A$ là điểm cố định trên đường tròn \(\left(...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn để chứng minh $\widehat {ABD} = {90^0} \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta AHC$.

Tính độ dài $AH$ từ tính chất hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra điều kiện để diện tích tam giác $ABC$ lớn nhất.

Giải chi tiết:

Kẻ $AH \bot BC,\,OI \bot BC$, đường kính $AD.$

Ta chứng minh được $\Delta AHC \sim \Delta ABD\,\left( {g - g} \right).$

Do đó $\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AD}} \Rightarrow AH.AD = AB.AC \Rightarrow AB.AC = 2R.AH\,\,\left( 1 \right).$

Theo giả thiết $\sqrt {AB.AC}  = R\sqrt 3 ,$ nên $AB.AC = 3{R^2}\,\,\left( 2 \right).$

Thay $\left( 2 \right)$ và $\left( 1 \right)$ ta có $AH = \frac{{3R}}{2}.$

Lại có $OI + OA \ge AI \ge AH$ nên $OI \ge AH - OA = \frac{{3R}}{2} - R = \frac{R}{2}.$

Do $AH = \frac{{3R}}{2}$ là giá trị không đổi nên ${S_{ABC}}$ lớn nhất khi $BC$ lớn nhất $\Leftrightarrow OI$ nhỏ nhất

$\Leftrightarrow OI = \frac{R}{2} \Leftrightarrow BC \bot OA \Rightarrow \Delta ABC$ cân tại $A$.

Mà $OI = \frac{R}{2} \Rightarrow \sin \widehat {OBI} = \frac{{OI}}{{OB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {OBI} = \widehat {OCI} = {30^0} \Rightarrow \widehat {BOC} = {120^0}$ $\Rightarrow \widehat {BAC} = {60^0}$

Vậy $\Delta ABC$ đều.

Chọn đáp án B.