Chóp \(S.ABCD\), \((SAB)\) và \((SAD)\) cùng vuông...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)\).

+ Ta có: \(MD \cap \left( {SBC} \right) = S \Rightarrow \dfrac{{d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {D;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{MS}}{{DS}} = \dfrac{1}{2}\).

\( \Rightarrow d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {D;\left( {SBC} \right)} \right)\).

Lại có \(AD\parallel BC \Rightarrow AD\parallel \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {SBC} \right)} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\).

+ Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\).

Xét tam giác \(ABC\) có: \(\widehat {ABC} = \widehat {BAC} = {60^0} \Rightarrow \Delta ABC\) đều.

\( \Rightarrow AN \bot BC\). Lại có \(BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SAN} \right)\).

Trong \(\left( {SAN} \right)\) kẻ \(AH \bot SN\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SN\\AH \bot BC\,\,\left( {BC \bot \left( {SAN} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).

+ Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow AN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

+ \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Rightarrow SA = \dfrac{{3{V_{S.ABCD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}}}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}}} = 2a\).

+ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAN\) có:

\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{N^2}}} = \dfrac{1}{{4{a^2}}} + \dfrac{4}{{3{a^2}}} = \dfrac{{19}}{{12{a^2}}} \Rightarrow AH = \dfrac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\).

Vậy \(d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}AH = \dfrac{{a\sqrt {57} }}{{19}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt {19} }}\).

Chọn C.