Đường cong \(y = {x^4} - 2\left( {1 - {m^2}} \righ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để hàm số có ba điểm cực trị.

+) Tìm các điểm cực trị A, B, C.

+) Tam giác ABC luôn là tam giác cân, giả sử cân tại A $\Rightarrow {S_{ABC}} = {1 \over 2}d\left( {A;BC} \right).BC$, tìm GTLN của ${S_{ABC}}$.

Giải chi tiết:

TXĐ: $D = R$.

Ta có: $y' = 4{x^3} - 4\left( {1 - {m^2}} \right)x = 0 \Leftrightarrow 4x\left[ {{x^2} - \left( {1 - {m^2}} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \hfill \cr   {x^2} = 1 - {m^2} \hfill \cr}  \right.$

Để hàm số có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow pt\,\,y' = 0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 1 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow  - 1 < m < 1$.

Khi đó $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \Rightarrow y = m + 1 \hfill \cr   x = \sqrt {1 - {m^2}}  \Rightarrow y =  - {m^4} + 2{m^2} + m \Rightarrow B\left( {\sqrt {1 - {m^2}} ; - {m^4} + 2{m^2} + m} \right) \hfill \cr   x =  - \sqrt {1 - {m^2}}  \Rightarrow y =  - {m^4} + 2{m^2} + m \Rightarrow C\left( { - \sqrt {1 - {m^2}} ; - {m^4} + 2{m^2} + m} \right) \hfill \cr}  \right.$

Phương trình đường thẳng $BC:\,\,y =  - {m^4} + 2{m^2} + m \Rightarrow d\left( {A;BC} \right) = {{\left| {{m^4} - 2{m^2} + 1} \right|} \over {\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = {\left( {1 - {m^2}} \right)^2}$

$BC = 2\sqrt {1 - {m^2}}$ 

$\Rightarrow {S_{ABC}} = {1 \over 2}d\left( {A;BC} \right).BC = {1 \over 2}{\left( {1 - {m^2}} \right)^2}2\sqrt {1 - {m^2}}  = {\left( {\sqrt {1 - {m^2}} } \right)^5}$

Ta có: $1 - {m^2} \le 1\,\forall m \Rightarrow {S_{ABC}} \le {1^5} = 1,\,\,{S_{ABC\,\,max}} = 1 \Leftrightarrow m = 0\,\,\left( {tm} \right)$

Chọn D.