Nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{align}...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp giải: :

+) Tìm điều kiện của x và y để biểu thức trong căn có nghĩa.

+) Biểu diễn x theo y và thay vào phương trình còn lại ta được một phương trình chứa căn thức với ẩn là y. Tiếp theo, ta đặt ẩn phụ để giải, thay ngược lại để tìm được giá trị của x và y.

+) Khi tìm được nghiệm x và y ta đối chiếu với điều kiện xác định và kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Giải chi tiết:

Cách giải:

 Đk: 

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - x}}{{2y + 1}} \ge 0\\\frac{{2y + 1}}{{1 - x}} \ge 0\\y \ne \frac{{ - 1}}{2}\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - x}}{{2y + 1}} > 0\\\frac{{2y + 1}}{{1 - x}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 - x > 0\\2y + 1 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 - x < 0\\2y + 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\y > \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\y < \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\end{array} \right..\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {\frac{{1 - x}}{{2y + 1}}} + \sqrt {\frac{{2y + 1}}{{1 - x}}} = 2\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x - y = 1\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

từ \(\left( 2 \right)\) suy ra: \(x=1+y\) thay vào \(\left( 1 \right)\) ta có:

\(pt \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{1 - 1 - y}}{{2y + 1}}}  + \sqrt {\frac{{2y + 1}}{{1 - 1 - y}}}  = 2 \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{ - y}}{{2y + 1}}}  + \sqrt {\frac{{2y + 1}}{{ - y}}}  = 2\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Đặt \(\frac{-y}{2y+1}=t\left( t\ge 0 \right)\Rightarrow \frac{2y+1}{-y}=\frac{1}{t}\) khi đó \(\left( 3 \right)\) có dạng:

 \(\frac{{ - y}}{{2y + 1}} = 1 \Leftrightarrow 2y + 1 =  - y \Leftrightarrow 3y = 1 \Leftrightarrow y = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\)

\(\sqrt t  + \sqrt {\frac{1}{t}}  = 2 \Leftrightarrow t + 2 + \frac{1}{t} = 4 \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 1\left( {tm} \right)\)

Suy ra: \(\frac{-y}{2y+1}=1\Leftrightarrow 2y+1=-y\Leftrightarrow y=\frac{1}{3}\,\,\,\left( tm \right)\Rightarrow x=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}\,\,\,\left( ktm \right)\)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Chọn D.