Gọi \(S=\left( a;b \right)\) là tập tất cả các giá...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 Đưa về phương trình đa thức chứa tham số, cô lập tham số, khảo sát hàm để biện luận nghiệm

Giải chi tiết:

 Điều kiện: \(\left\{ \begin{align} & mx-6{{x}^{3}}>0 \\ & -14{{x}^{2}}+29x-2>0 \\ \end{align} \right..\)

Phương trình \(\Leftrightarrow \,\,{{\log }_{2}}\left( mx-6{{x}^{3}} \right)={{\log }_{2}}\left( -\,14{{x}^{2}}+29x-2 \right)\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
- \,14{x^2} + 29x - 2 > 0\\
mx - 6{x^3} = - \,14{x^2} + 29x - 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
14{x^2} - 29x + 2 < 0\\
mx = 6{x^3} - 14{x^2} + 29x - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{{14}} < x < 2\\
m = 6{x^2} - 14x + 29 - \frac{2}{x}\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\;\;\;\;\left( {do\;\;x > 0} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \,\,\left( * \right)\) có ba nghiệm phân biệt \(x\in \left( \frac{1}{14};2 \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right)=6{{x}^{2}}-14x+29-\frac{2}{x}\) trên khoảng \(\left( \frac{1}{14};2 \right)\).

Ta có \({f}'\left( x \right)=12x-14+\frac{2}{{{x}^{2}}}=\frac{12{{x}^{3}}-14{{x}^{2}}+2}{{{x}^{2}}}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=\frac{1}{2} \\ \end{align} \right.\ \ \ \left( do\ \ \ \frac{1}{14}<x<2 \right).\)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình \(\left( * \right)\) có ba nghiệm phân biệt khi \(19<m<\frac{39}{2}\).

Vậy \(m\in \left( 19;\frac{39}{2} \right)=\left( a;b \right)\Rightarrow \,\,a=19;\,\,b=\frac{39}{2}.\)

Vậy \(b-a=\frac{39}{2}-19=\frac{1}{2}.\)

Chọn B