Cho phương trình:  \({x^2} + 2\left( {m - 4} \righ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Để trả lời yêu cầu bài toán, trước tiên ta tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1}\)  và \({x_2}\)  (\(\Delta  \ge 0\)).

 Ta biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức có chứa \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) rồi từ đó áp dụng hệ thức Vi-et ta tìm được m.

Đối chiếu với điều kiện xác định của m để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Giải chi tiết:

Xét phương trình: \({x^2} + 2\left( {m - 4} \right)x + 2m - 10 = 0\) có:

\({\Delta'} = {\left( {m - 4} \right)^2} - 2m + 10 = {m^2} - 8m + 16 - 2m + 10\)

     \( = {m^2} - 10m + 26 = {\left( {m - 5} \right)^2} + 1 > 0\,\,\forall m\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt  và .

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có:   \(\left\{ \matrix{{x_1} + {x_2} =  - 2\left( {m - 4} \right)  \cr {x_1}{x_2} = 2m - 10  \cr}  \right.\)  (1)

Ta có:  

\({1 \over {{x_1}^2}} + {1 \over {{x_2}^2}} = 1 \Leftrightarrow {{{x_1}^2 + {x_2}^2} \over {{x_1}^2.{x_2}^2}} = 1 \Leftrightarrow {{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \over {{x_1}^2.{x_2}^2}} = 1\)

Thay (1) vào phương trình trên ta được:

\(\eqalign{& {{4{{\left( {m - 4} \right)}^2} - 4\left( {m - 5} \right)} \over {{{\left( {2m - 10} \right)}^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {m \ne 5} \right)  \cr &  \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} - 8m + 16} \right) - 4m + 20 = 4{m^2} - 40m + 100  \cr &  \Leftrightarrow 4{m^2} - 32m + 64 - 4m + 20 = 4{m^2} - 40m + 100  \cr &  \Leftrightarrow 4m = 16 \Leftrightarrow m = 4\,\,\,\,\,\left( {tm} \right). \cr} \)

Vậy m = 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.